x=f( f(x) )

[Morkonwen]

Здравствуйте! Такое ощущение, что какое то очень небольшое семейство функций удовлетворяет уравнению выше. Среди них

1)$f(x)=x$

2)$f(x)=\frac{a+bx}{-b+c x}$

3)$f(x)=^n\sqrt{a-x^n}$(корень арифметический)

Можно ли как то это все классифицировать?

[venco]

Берём произвольное количество произвольных непрерывных монотонных функций, например:
$v(x)=\sh(x)$
$w(x)=x^3$
Функция $f(x)=w^{-1}(v^{-1}(a-v(w(x))))$ является решением.
Можно использовать и функции с разрывом типа $1 \over x$, если в качестве константы $a$ взять точку разрыва.
Ну и ещё есть варианты...

[Dan B-Yallay]

$4) \ f(x)=\dfrac 1 x $

Morkonwen в сообщении #610996 писал(а):

Можно ли как то это все классифицировать?

$f^{-1}=f$ ?

[venco]

Dan B-Yallay в сообщении #611001 писал(а):

$4) \ f(x)=\dfrac 1 x $

Получится, если взять $a=0$, $u(x)=\ln(x)$:
$f(x)=\exp(-\ln(x))$

[Morkonwen]

venco
Да, их мягко говоря больше чем казалось. Видимо, ничего интересного.