Cуществует ли такой ряд?

[Pyphagor]

Существует ли такой ряд с монотонными положительными членами $a_n >a_{n+1}>...0$ что:

1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^{2}<\infty$, но
2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^{q} \cdot \frac{1}{n^{1-r}}=\infty$,
для некоторых $1<q<2$ и $0<r<1$.

Перебрал много рядов. Но ни доказать ни привести контр-пример не смог. Сразу говорю - гармонический не катит!

[ewert]

Возьмите такой ряд из обратных степеней, который будет квадратично сходиться "на пределе", т.е. когда показатель степени в знаменателе лишь чуть-чуть больше предельного, для которого уже получается расходимость. Если теперь квадрат над членами ряда заменить на существенно меньшую степень, то он начнёт расходиться с запасом, и навешивание на него ещё одной очень слабенькой степени ничего принципиально не изменит.

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

Pyphagor в сообщении #610104 писал(а):

Ничему не удивлятся

удивляться