Несовместность, независимость, формула Байеса

[ole-ole-ole]

1) При диагностике заболевания пациента врач с вероятностью 0,95 диагностирует заболевание F и с вероятностью 0,05 заболевание G. Для уточнения диагноза он отправляет больного на дополнитнльный анализ, который с вероятностью 0,45 дает положительную реакцию в случае заболевания F и с вероятностью 0,17 в случае заболевания G. Результаты анализа оказались положительными. Какова вероятность, что жто было заболевание G?

2) Из колоды с 36 картами одну за другой вынимают 2 карты. Случайное событие А="Первая вынутая карта валет пик", случайное событие В="Обе вынутые карты красной масти" Напишите определение несовместных случайных событий и ответьте на вопрос, какими булут случайные события А и В: совместными или совместными? Напишите определение независимых случайных событий и ответьте на вопрос: зависимы ли случайные события А и В. Все ответы должны быть обоснованы

======================================

1) Я так думаю, что эта задача на формулу Байеса.

$A$ - пациент болен

Можно ли построить гипотезы так?

$H_1$ - врач диагностирует первично на заболевание F

$H_2$ - врач диагностирует первично на заболевание G

$H_3$ - доп анализ на заболевание F

$H_4$ - доп анализ на заболевание G

Тогда необходимо найти $P\Big( (H_2+H_4)|A\Big)=P(H_2|A)+P(H_4|A)$?

Верно ли, что $P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=P(H_4)=0,25$ ?

2)

События $A$ и $B$ -- несовместны, так как их пересечение представляет пустое множество.

$P(A|B)=0$

$P(A)=\dfrac{1}{36}$

То есть $P(A|B)\ne P(A)$ => события $A$ и $B$ - зависимые.

Верно?

[Henrylee]

1. Да, по формуле Байеса. Но все иначе, судя по условию. Фраза "врач диагностирует.." в данном случае говорит об априорных вероятностях следующих гипотез: $H_1$ - поциент болен заболеванием $F$, $H_2$ - ... заболеванием $G$. Событие $A$ означает: "дополнительное обследование дало положительную реакцию". Дальше самостоятельно.

2. Верно.

[ole-ole-ole]

Henrylee в сообщении #609691 писал(а):

1. Да, по формуле Байеса. Но все иначе, судя по условию. Фраза "врач диагностирует.." в данном случае говорит об априорных вероятностях следующих гипотез: $H_1$ - поциент болен заболеванием $F$, $H_2$ - ... заболеванием $G$. Событие $A$ означает: "дополнительное обследование дало положительную реакцию". Дальше самостоятельно.

2. Верно.

А как тогда учесть первичное обследование? (я про 0,95 и 0,05)

$P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)$

$P(H_2|A)=\dfrac{P(A|H_2)P(H_2)}{P(A)}$

Ну там циферки осталось подставить.

-- 23.08.2012, 21:30 --

Ой, кажется понял

$P(A)=0.95\cdot 0.45+0.05\cdot 0.17=0.436$

$P(H_1|A)=\dfrac{0.95\cdot 0.45}{0.436}\approx 0,98$

Верно?

[Henrylee]

Верно, верно. Только Вам по условию нужна $\Prob(H_2|A)$.

[ole-ole-ole]

Спасибо

то есть вероятность того, что он обнаружит или заболевание F или G равна 1? А здоровым не может оказаться пациент?
Раз вероятность того, что дополнитнльный анализ, который с вероятностью 0,45 дает положительную реакцию в случае заболевания F, то он дает отрицательную реакцию в случае заболевания F с вероятностью 0,55, а значит он может иметь заболевание G с вероятностью 0,55 (раз у него есть либо F, ибо G). Стоит ли это учитывать или все-таки клиент может оказаться здоров в результате дополнительного анализа. Или же он в результате первичного анализа может оказаться здоровым. Вообщем - как учесть в задаче, что пациент может быть здоров?

[Cash]

Цитата:

А здоровым не может оказаться пациент?

Нет. Пациент болен. Нужно выяснить только чем.

Цитата:

Раз вероятность того, что дополнитнльный анализ, который с вероятностью 0,45 дает положительную реакцию в случае заболевания F, то он дает отрицательную реакцию в случае заболевания F с вероятностью 0,55, а значит он может иметь заболевание G с вероятностью 0,55 (раз у него есть либо F, ибо G).

Вы забываете, что анализ может давать и отрицательный результат.

[Henrylee]

ole-ole-ole в сообщении #609835 писал(а):

..то он дает отрицательную реакцию в случае заболевания F с вероятностью 0,55, а значит он может иметь заболевание G с вероятностью 0,55 (раз у него есть либо F, ибо G)..

Не значит. Рассмотрим событие: "Имеется заболевание $F$, и тест дает отрицательную реакцию". Оно почти никак не связано (только что несовместно) с событием "имеется заболевание $G$". Как это Вы по условной вероятности первого события взяли и нашли вероятность второго?