Различия между тестами?

[Somenoob]

Написано, что тест Крамера-фон Мизеса основан на статистике
$S_1=\int_{-\infty}^{+\infty} (F_n(x)-F(x))^2 dF(x)$
$F_n(x)$ - эмпирическая функция распределения.
Дискретный аналог это $S_1=\sum_{i=1}^{n} (F_n(x_i)-F(x_i))^2$

Но еще написано, что есть более простая статистика $S_2=\int_{-\infty}^{+\infty} (F_n(x)-F(x))^2 dx$
А какой для нее дискретный аналог? Не могу понять. Как по мне, так я бы для нее выписал дискретный аналог статистики Крамера-Мизеса, выше который.

[_hum_]

"Дискретный аналог" означает не дискретизированный, а записанный в явном виде через сумму. То есть, просто взяли и напрямую подставили в интеграл выражение для эмпирической функции распределения $F_n^*$ (см. chernova_lec):

или в другом варианте


и проинтегрировали. Получилась соответствующая сумма (кстати, вы там на $n $ разделить не забыли?).

Вот и вам надо сделать похожее - подставьте и проинтегрируйте.

[Somenoob]

_hum_ в сообщении #609489 писал(а):

подставили и проинтегрировали

Не могу понять, как первый интеграл посчитать.

$\int_{0}^{1} (F^_n(x)-z)^2 dz$

По идее раз $F^_n(x)$ есть гистограмма, то надо разбить интеграл на $n$ интегралов по интервалам $(0,t_1), (t_1,t_2),....., (t_{n-1},t_n)$, чтобы можно было вынести константу $F^_n(x)$. Но у меня получается так:

$\int_{0}^{t_1} (F^*_n (x)-z)^2 dz=\int_{0}^{t_1} F^2_n (x) dz + \int_{0}^{t_1} 2F^2_n (x) z dz + \int_{0}^{t_1} z^2 dz$

Там получается третья степень $z^3$, чего по идее не должно быть, да?

[_hum_]

Somenoob в сообщении #610292 писал(а):

По идее раз $F^_n(x)$ есть гистограмма

Не гистограмма, а эмпирическая функция распределения. Это разные вещи.

Somenoob в сообщении #610292 писал(а):

то надо разбить интеграл на $n$ интегралов по интервалам $(0,t_1), (t_1,t_2),....., (t_{n-1},t_n)$, чтобы можно было вынести константу $F^_n(x)$.

да, и в качестве интервалов надо выбирать $(x_{(k-1)}, x_{(k)})$, где $x_{(k)}$ - $k$-ый член вариационного ряда. На каждом из них эмпирическая функция распределения (как уже указывалось ранее) принимает постоянное значение $k/n$ (за исключением концов, где она равняется 0 и 1).
Итого,

$$\int_{-\infty}^{\infty}\big(F_n^*(u) - F(u)\big)^2du = \int_{-\infty}^{x_{(1)}} \big(0 - F(u)\big)^2du \, +\, \sum_{k=2}^n \int_{x_{(k-1)}}^{x_{(k)}} \big(k/n - F(u)\big)^2 du \,+\, \int_{x_{(n)}}^{\infty} \big(1 - F(u)\big)^2 du.$$

Ну, и дальше высчитывайте интегралы для вашей известной $F(u)$.