Неоднородное волновое уравнение, УМФ

[supercranberry]

Вот условие задачи по уравнениям мат физики:
$\begin{cases} & \text U_{tt} = U_{xx} + \sin(3x) \\ & \text U(0,t)=U(\pi,t)=0 \\ & \text U(x,0)=U_{t}(x,0)=0 \end{cases}$
$(0<x<\pi),\; (t>0)$

Начал решать методом Фурье. Представил $U(x,t)=X(x)\cdot T(t)$

Рассмотрел $X+\lambda X = 0$ . Имеет смысл рассматривать только случай $\lambda > 0$.

В результате рассмотрения получился спектр: $ \lambda = n^2, X_n = \sin(nx), n \varepsilon N$

Далее мы представляем наше уравнение в виде ряда:
$\sum_{n=1}^{\infty} T_n''\sin(nx) = -\sum_{n=1}^{\infty}n^2 T_n\sin(nx) + \sin(3x)$

На этом месте не очень понятно что делать. Суть в том чтобы найти T(t).
Помогите пожалуйста.

[ewert]

supercranberry в сообщении #608535 писал(а):

$\sum_{n=1}^{\infty} T_n''\sin(nx) = -\sum_{n=1}^{\infty}n^2 T_n\sin(nx) + \sin(3x)$

На этом месте не очень понятно что делать.

Разложить формально синус трёх икс в ряд Фурье по собственным функциям и подставить разложение в это равенство.

[supercranberry]

у нас собственная функция $\sin(nx)$

Основная функция выглядит вот так: $U_n(x,t) = T_n(t) \sin(n,x)$

Значит $T_3 = 1$

В общем синус трёх икс вроде и так разложен?

[ewert]

supercranberry в сообщении #608574 писал(а):

В общем синус трёх икс вроде и так разложен?

Да. Теперь выписывайте дифференциальные уравнения по времени для каждого номера.

[supercranberry]

для всех $n$ не равных трём :

$\begin{cases} T_n'' = - n^2 T_n \\ T_n(0) = 0 \\ T_n'(0) = 0 \end{cases}$

для $n=3$ :

$\begin{cases} T_3'' = - 3^2 T_3 + 1 \\ T_3(0) = 0 \\ T_3'(0) = 0 \end{cases}$


Для $n \ne 3 $получается нет решений.

Для $n = 3 $ получается
$T_3 = - \frac{1}{9} \cos(3t) + \frac{1}{9}$

Как то так?

[Taus]

supercranberry в сообщении #608639 писал(а):

Для $n \ne 3 $получается нет решений.

Раз решений нет, так может и задача не решается?

[Munin]

Решения есть, просто они нулевые.

[supercranberry]

supercranberry в сообщении #608639 писал(а):

для всех $n$ не равных трём :

$\begin{cases} T_n'' = - n^2 T_n \\ T_n(0) = 0 \\ T_n'(0) = 0 \end{cases}$

для $n=3$ :

$\begin{cases} T_3'' = - 3^2 T_3 + 1 \\ T_3(0) = 0 \\ T_3'(0) = 0 \end{cases}$


Для $n \ne 3 $получается нет решений.

Для $n = 3 $ получается
$T_3 = - \frac{1}{9} \cos(3t) + \frac{1}{9}$

Как то так?

Нулевые решения мы вроде как не рассматриваем. Не знаю точно почему.

Мы берем сумму решений из 1 и 2 фигурной. В 1 у нас нулевые решения и во второй мы нашли $ T_3$

Так как $U_n(x,t) = T_n(t) \sin(nx)$ , то $U_3 $ будет выглядеть так:
$U_3 = \frac{1}{9} \sin(3x) (1 - \cos(3t))$

Это и будет ответом?

[ewert]

supercranberry в сообщении #608755 писал(а):

Нулевые решения мы вроде как не рассматриваем. Не знаю точно почему.

А Вы знайте. Думать -- дело не царское; наше дело -- прокукарекать. Ненулевые решения -- значит, ненулевые; нулевые -- значит, нулевые; уж какие есть.

[Munin]

supercranberry в сообщении #608755 писал(а):

Нулевые решения мы вроде как не рассматриваем.

Шо значит, не рассматриваем? Если по задаче Коши получается нулевое, то так и надо писать - нулевое.

Задача представляет собой набор осцилляторов, соответствующих стоячим волнам. Все осцилляторы молчат, кроме одного, третьей гармоники, который за счёт правой части имеет смещённое положение равновесия, и поэтому из начальных условий колеблется. Если не указать, что происходит с остальными невозбуждёнными осцилляторами, то и ответ нельзя будет выписать.

[ewert]

Munin в сообщении #608820 писал(а):

Задача представляет собой набор осцилляторов, соответствующих стоячим волнам

Нету там никаких осцилляторов, не сбивайте с толку. Там есть лишь тупо разложение по собственным функциям самосопряжённого оператора. Спектр которого мог бы быть, в принципе, каким угодно, и ни к каким сосредоточенным объектам он ни разу не привязан.

[Munin]

ewert в сообщении #608826 писал(а):

Нету там никаких осцилляторов

Хорошо, нету. Непонятно, правда, тогда, почему метод Фурье работает, но вам виднее.

ewert в сообщении #608826 писал(а):

Спектр которого мог бы быть, в принципе, каким угодно, и ни к каким сосредоточенным объектам он ни разу не привязан.

Я не знаю, с чего вы вдруг упомянули сосредоточенные объекты, но надеюсь, не в связи с осцилляторами. Которые, разумеется, ни в какой мере сосредоточенными объектами не являются.

[ewert]

Munin в сообщении #608830 писал(а):

Непонятно, правда, тогда, почему метод Фурье работает, но вам виднее.

Очень просто: потому, что в ряд Фурье можно разложить любую (с соотв. оговорками) функцию. И если базисные функции того разложения оказываются хоть сколько-то адекватными хоть какой-то части исходной задачи -- то, естественно, и разложение оказывается удачным. А вовсе не какие-то там мистические осциллятора, которых и вовсе-то нет.

[Munin]

ewert в сообщении #608837 писал(а):

Очень просто: потому, что в ряд Фурье можно разложить любую (с соотв. оговорками) функцию.

Это, конечно, здорово, но почему-то, например, в области другой формы приходится раскладывать не в ряд Фурье.

ewert в сообщении #608837 писал(а):

И если базисные функции того разложения оказываются хоть сколько-то адекватными хоть какой-то части исходной задачи -- то, естественно, и разложение оказывается удачным. А вовсе не какие-то там мистические осциллятора, которых и вовсе-то нет.

А что вы называете "хоть сколько-то адекватными"? Может, их и назвать осцилляторами, и они вдруг есть? И вовсе не мистические, зачем мистические?

[ewert]

Munin в сообщении #608860 писал(а):

Может, их и назвать осцилляторами,

Лучше назовите их курами -- тех хоть съесть можно. Некоторые утверждают, что даже со сливками.