Мощность множества всех функций определённого типа

[Ktina]

Какова мощность множества всех функций $f:\mathbb R\to\mathbb R$, для которых выполняется нижеприведённое условие?

$$\forall x\in\mathbb R:\quad f(x-f(x))=0$$

Лично мне кажется, что как минимум континуум. Достаточно заметить, что все функции вида $f(x)=x+a$, где $a\in\mathbb R$ удовлетворяют условию. А вот сколько их на самом деле - ровно континуум или больше? И как до этого докопаться?

[ИСН]

Больше. Тупо делим R на два произвольных континуальных множества (уже смешно, в принципе). На одном из них значения будут сплошь нули. На другом - в каждой точке f(x)=x минус какое-нибудь число из первого множества.

[Ktina]

ИСН в сообщении #607410 писал(а):

Больше. Тупо делим R на два произвольных континуальных множества (уже смешно, в принципе). На одном из них значения будут сплошь нули. На другом - в каждой точке f(x)=x минус какое-нибудь число из первого множества.

А реально ли найти все такие функции (в смысле, такие, о которых говорится в условии задачи)?

[Профессор Снэйп]

Ktina в сообщении #607412 писал(а):

А реально ли найти все такие функции (в смысле, такие, о которых говорится в условии задачи)?

Так ИСН их и нашёл. Пусть $A$ - множество нулей функции $f$. $A$ можно взять произвольным непустым. А для всех $x \not\in A$ $f(x)$ с необходимостью равно $x$ минус элемент из $A$