Похожее на сферу множество

[Профессор Снэйп]

Пусть $S \subseteq \mathbb{R}^3$ таково, что при сечении $S$ любой плоскостью получается окружность (вырожденные случаи - точка или пустое множество, тоже считаются окружностями). Можно ли доказать, что $S$ является сферой?

[bot]

Навскидку. Берём произвольную плоскость дающую непустую и не одноточечную окружность. Через её центр перпендикулярно плоскости проводим прямую, а через прямую - пучок плоскостей, которые дадут "меридианы" искомой сферы ... Дальше вроде бы очевидно.

[Профессор Снэйп]

bot в сообщении #606711 писал(а):

Через её центр перпендикулярно плоскости проводим прямую, а через прямую - пучок плоскостей, которые дадут "меридианы" искомой сферы ...

А почему в этих плоскостях окружности будут такого же размера?

-- Чт авг 16, 2012 20:35:45 --

Они скорее всего и не будут. Ведь не факт, что мы провели эти окружности через какой-то там "центр" $S$. У нас изначально даже не известно, что этот центр существует!

И никакими "меридианами" там и не будет пахнуть!

[svv]

Зато все эти окружности будут иметь общий северный и южный полюс (точки пересечения с той прямой).
Значит, и общий центр (конечно, не обязательно лежащий на исходной плоскости, но лежащий на прямой).

[Профессор Снэйп]

svv в сообщении #606741 писал(а):

Зато все эти окружности будут иметь общий северный и южный полюс (точки пересечения с той прямой).
Значит, и общий центр (конечно, не обязательно лежащий на исходной плоскости, но лежащий на прямой).

Чёт я не понял. Вот даже было $S$ сферой и первую окружность мы получили такую, что её радиус оказался равным половине радиуса исходной сферы. Дальше? Какие там ещё полюса?

-- Чт авг 16, 2012 20:45:00 --

Что такое вообще "полюс окружности"?

[Xaositect]

Берем какую-то плоскость $\alpha$ такую, что $S\cap \alpha$ --- невырожденная окружность $\omega_1$ с центром в некоторой точке $O$. Проведем какую-нибудь плоскость через $O$ перпендикулярно $\alpha$. Получаем тоже невырожденную окружность $\omega_2$.

Дальше берем множество плоскостей, проходящих через $O$ и перпендикулярных $\alpha$. В каждой из них известны 4 точки, через которые проходит окружность. Этими точками окружность задается однозначно. То есть все множество $S$ однозначно восстанавливается по $\omega_1$ и $\omega_2$. Так как сфера подходит, то это она и есть.

[Профессор Снэйп]

Xaositect в сообщении #606743 писал(а):

В каждой из них известны 4 точки...

А почему $4$, разве не $3$?.. Впрочем, трёх достаточно. Да, это решение!

-- Чт авг 16, 2012 20:53:00 --

А, ну да, $4$ всё-таки.

[Mathusic]

Будет даже верно так, вроде бы.

Утверждение
Если $S \subseteq \mathbb{R}^n$ не лежит полностью ни в какой гиперплоскости и все сечения с плоскостями фиксированной размерности $k$ есть сферы некоторой размерности, то $S$ есть $(n-1)$-сфера.

(Ни о каких пустых пересечениях, я не упоминаю, ибо по определению считаем, что сечение есть непустое пересечение).

Для общего доказательства, наверно, можно использовать системы уравнений, но у меня из небольшой возни с ними строгого доказательства не вышло.
Ещё, все случаи для размерности пространства $n$ можно свести к случаю $k=1$, кажется.
Последний - экзотический случай, надо сказать.

Вот формулировка для $n=3, k=1.$
Пусть $S$ - некоторая фигура в трёхмерном пространстве, не лежащая ни в какой плоскости и в сечении с прямыми дающая сферы (то есть пару, возможно вырожденных в одну, точек), тогда $S$ - двумерная сфера (поверхность мячика).

Контрпример такой "псевдосферы" можно привести?

-- Чт авг 16, 2012 19:34:22 --

Хотя, да, формулировка не верна для $k=1.$
На плоскости, тогда три точки в вершинах треугольника - псевдосфера, в пространстве - тетраэдра.

-- Чт авг 16, 2012 19:35:40 --

Наложить условие $k > 1$ и будет верно?

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #606750 писал(а):

Наложить условие $k > 1$ и будет верно?

Наверное, для $k = 2$ достаточно. Ибо по индукции можно будет $k$ поднимать.

-- Чт авг 16, 2012 21:43:50 --

А при $k = 1$ и $n = 2$ любая граница выпуклой фигуры на роль "окружности" годится

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #606757 писал(а):

А при $k = 1$ и $n = 2$ любая граница выпуклой фигуры на роль "окружности" годится

(Не совсем граница, но не суть. Многоугольник выпуклый же не подойдет, подойдет множество его вершин)
И не только $n=2$, но и выше (можно брать $(n+1)$ аффинно независимых точек). Я это уже просёк.
Хех, изначально хотел наложить условие $k>1.$

Профессор Снэйп в сообщении #606757 писал(а):

Mathusic в сообщении #606750 писал(а):

Наложить условие $k > 1$ и будет верно?

Наверное, для $k = 2$ достаточно. Ибо по индукции можно будет $k$ поднимать.

Наверно У меня было, наоборот, рассуждение о "спуске". Так что если докажем для $k=2$, то будет следовать для всех остальных $k$... Стоп! Так если вы можете поднимать по индукции, а я могу спускать, то утверждение для всех $k \in \overline{2,n}$ будет следовать из доказательства для какого-то одного $k$ для конкретного $n$

[Mathusic]

Хорошо. Давайте сформулируем

Утверждение.
Если $S \subseteq \mathbb{R}^n$ не лежит полностью ни в какой гиперплоскости и все сечения с плоскостями фиксированной размерности $k \geqslant 2$ есть сферы некоторой размерности, то $S$ есть $(n-1)$-сфера.

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #606826 писал(а):

Хорошо. Давайте сформулируем

Утверждение.
Если $S \subseteq \mathbb{R}^n$ не лежит полностью ни в какой гиперплоскости и все сечения с плоскостями фиксированной размерности $k \geqslant 2$ есть сферы некоторой размерности, то $S$ есть $(n-1)$-сфера.

Да, это похоже на правду. Для точности формулировки надо ещё добавить $n \geqslant 2$

[Mathusic]

Утверждение.
Если $S \subseteq \mathbb{R}^n, n \geqslant 2$ не лежит полностью ни в какой гиперплоскости и все сечения с плоскостями фиксированной размерности $k \geqslant 2$ есть сферы некоторой размерности, то $S$ есть $(n-1)$-сфера.

Профессор Снэйп в сообщении #606895 писал(а):

Для точности формулировки надо ещё добавить

Профессор Снэйп в сообщении #606895 писал(а):

Да, это похоже на правду.

Тогда нужно, чтобы кто-то доказал
Ваше изначальное утверждение -- это вариант $(n,k)=(3,2).$
Для $(4,2)$ можно контрпример привести?

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #606919 писал(а):

Для можно контрпример привести?

$(4,2) \rightarrow (4,3) \rightarrow (4,4)$

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #606949 писал(а):

Mathusic в сообщении #606919 писал(а):

Для можно контрпример привести?

$(4,2) \rightarrow (4,3) \rightarrow (4,4)$

Поясните, что это значит