мощность множества всех сходящихся у нулю последовательносте

[svv]

Хуже того, она и недофизика.

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #605931 писал(а):

Кстати, пространство обобщённых функций какую мощность имеет?

Континуум :)
А ТС прав. В анализе мощности выше континумма -- это что-то экзотическое обычно, практического применения не имеющее. Оно и понятно.

[theambient]

svv в сообщении #605996 писал(а):

Хуже того, она и недофизика.

боже мой, чему я решил посвятить свою жизнь ))))

-- Вт авг 14, 2012 20:02:10 --

theambient в сообщении #605956 писал(а):

еще один вопрос собственно ради которого и возник этот. Каков линейный базис в . Очевидно он должен содержать счетный базис всех ортов из .

Есть предположение, что это представители классов смежности по отношению эквивалентности .

написал чушь. во-первых, классов эквивалентности по отношению ..., а, во-вторых, это не будет ЛНЗ, надо взять минимальную ЛНЗ порождающую эту систему, может быть множество всех ортов + тех представителей классов эквивалентности о которых шла речь, что попарно отличаются друг от друга в счетном числе точек с нормировкой "максимальный элемент (он ведь достижим?) - единица". Нуль-последовательность по понятным причинам не интересует.

[Someone]

Padawan в сообщении #606082 писал(а):

А ТС прав. В анализе мощности выше континумма -- это что-то экзотическое обычно, практического применения не имеющее. Оно и понятно.

Ну, достаточно естественные вопросы иной раз могут привести к большим мощностям. Например, суммирование расходящихся рядов.
Как известно, при стандартном определении суммы ряда она существует далеко не всегда, даже если мы допускаем бесконечную сумму. Возникает вопрос: можно ли изменить определение суммы ряда так, чтобы она существовала для более широкого класса рядов, нежели стандартная? Такое определение с расширенной областью существования обобщённой суммы называется методом суммирования. Слово "обобщённая" далее буду опускать.
Обычно к методу суммирования предъявляются два требования:
1) если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ суммируется к конечной сумме $A$, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ - к конечной сумме $B$, $p$ и $q$ - любые числа, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(pa_n+qb_n)$ суммируется к $pA+qB$ (линейность метода);
2) если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится (в стандартном смысле), то метод суммирует этот ряд к стандартной сумме (регулярность метода).

Количество методов суммирования оказывается несусветно большим - $2^{\mathfrak c}$, где $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ - континуум.

[Mathusic]

Someone в сообщении #606172 писал(а):

$p$ и $q$ - любые числа, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$ суммируется к $pA+qB$ (линейность метода);

Пропустили $p,q$ перед последовательностями.

Someone в сообщении #606172 писал(а):

Количество методов суммирования оказывается несусветно большим - $2^{\mathfrak c}$, где $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ - континуум.

То есть каждый конкретный способ суммирования фактически есть дополнение базиса сходящихся в привычном смысле рядов до базиса всего пространства рядов и отождествление каждого выбранного элемента базиса с некоторым вещественным числом

[Someone]

Mathusic в сообщении #606176 писал(а):

Пропустили $p,q$ перед последовательностями.

Да. Спасибо. Исправляю.

Mathusic в сообщении #606176 писал(а):

То есть каждый конкретный способ суммирования фактически есть дополнение базиса сходящихся в привычном смысле рядов до базиса всего пространства рядов и отождествление каждого выбранного элемента базиса с некоторым вещественным числом

Ну, в каком-то смысле можно и так на это посмотреть. Но я это представляю себе скорее как продолжение линейного функционала. И не обязательно на все ряды.

Некоторый обзор теории методов суммирования есть во втором томе трёхтомника Фихтенгольца.

[Профессор Снэйп]

У поля комплексных чисел $2^c$ автоморфизмов.

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #606210 писал(а):

У поля комплексных чисел $2^c$ автоморфизмов.

Вроде же всего один нетривиальный -- комплексное сопряжение?

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #606274 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #606210 писал(а):

У поля комплексных чисел $2^c$ автоморфизмов.

Вроде же всего один нетривиальный -- комплексное сопряжение?

Да нет, ещё много других есть

Вот непрерывных автоморфизмов всего два: тождественный и комплексное сопряжение (можете, кстати, подоказывать это на досуге). А просто автоморфизмов очень много. Базис трансцендентности $\mathbb{C}$ над $\mathbb{Q}$ континуален, любая перестановка этого базиса продолжается до автоморфизма $\mathbb{C}$.

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #606275 писал(а):

Вот непрерывных автоморфизмов всего два: тождественный и комплексное сопряжение (можете, кстати, подоказывать это на досуге).

Щас ещё прочитал, что ровно два автоморфизма, оставляющих $\mathbb{R}$ на месте.

Профессор Снэйп в сообщении #606275 писал(а):

А просто автоморфизмов очень много. Базис трансцендентности $\mathbb{C}$ над $\mathbb{Q}$ континуален, любая перестановка этого базиса продолжается до автоморфизма $\mathbb{C}$.

Правдоподобно. Прям как с методами суммирования, только ещё умножение добавляется.
Правда, я не знаю что такое "базис трансцендентности", но это не суть -- главное идея

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #606279 писал(а):

Щас ещё прочитал, что ровно два автоморфизма, оставляющих $\mathbb{R}$ на месте.

И это тоже верно. И доказывается совсем просто. У $\mathbb{R}$ единственный автоморфизм - тождественный, корни многочлена $x^2+1$ при автоморфизмах должны переставляться.

Mathusic в сообщении #606279 писал(а):

Правда, я не знаю что такое "базис трансцендентности"

Вот здесь про это написано.