На тему Oleg Zubelevich

[dovlato]

В Планете, имеющей постоянную плотность $\rho$, Странниками некогда был проделан прямолинейный туннель, проходящий на расстоянии $h$ от центра Планеты. По туннелю может свободно без трения кататься вагон. Пассажиру вагона доступны измерению только две физические величины: $T/2$ и $g_1$ - соответственно время проезда туннеля в одну сторону, и ускорение свободного падения в вагоне. Найти $\rho$ и $h$.

[ewert]

dovlato в сообщении #605959 писал(а):

Пассажиру вагона доступны измерению только две физические величины: $T/2$ и $g_1$ - соответственно время проезда туннеля в одну сторону, и ускорение свободного падения в вагоне. Найти $\rho$ и $h$.

Если "только", то $\rho$ никак не найдёшь -- просто по соображениям размерностей.

[miflin]

dovlato
Не приведёте ссылку, где Oleg Zubelevich поднимал тему?
Мне интересно, т.к. я тоже поднимал аналогичную.
Здесь начало и здесь, в Вашей теме, случайно возникло продолжение.

[dovlato]

Прежде всего я, конечно, должен принести извинения miflin за свой досадный промах: разумеется, тема принадлежит именно miflin.
По поводу замечания ewert: предполагается, что значения фундаментальных постоянных исследователю известны.

[ewert]

dovlato в сообщении #605987 писал(а):

предполагается, что значения фундаментальных постоянных исследователю известны.

Ну это неэстетично -- тупо пересчитывать гравитационную постоянную в плотность. С "высотой" -- дело другое, там тех двух параметров действительно достаточно: $h=\dfrac{g_1}{\omega^2}$, где $\omega=\dfrac{2\pi}T$; но это и достаточно очевидно.

[dovlato]

ewert, эту задачу я поместил не из соображений своих амбиций)).. Просто бывает, когда некая тема (задача) оставляет саднящее чувство не - законченности. Хотелось как-то её довершить. Для школьников, думаю, вполне подойдёт.

[ewert]

dovlato в сообщении #605992 писал(а):

Для школьников, думаю, вполне подойдёт.

Возможно; я не знаю, что из этих двух подвопросов (гармонические колебаний и поле внутри сферы) входит в школьную программу и в каком объёме.

Кстати, вдогонку -- можно ли задавать школьникам такой вопрос: откуда без вычислений сразу же следует, что период тех колебаний совпадает с периодом обращения спутника на нулевой высоте?...

[dovlato]

Цитата:

можно ли задавать школьникам такой вопрос: откуда без вычислений сразу же следует, что период тех колебаний совпадает с периодом обращения спутника на нулевой высоте?..

Формально, думаю, можно задавать в 10м классе - там у них уже тема гравитации начата. И известен главный факт - в теле, плотность которого есть функция только $R$, сила притяжения определяется только частью тела, ограниченной сферой радиуса $R$.
Но вот сможет ли кто-то из них найти графическое решение.. Бог весть.

[Munin]

Господа, боюсь, никому, кто не проходил движения в потенциале $x^2+y^2$ (многомерный осциллятор), такую задачу задавать нельзя. Потому что иначе это просто задание на вывод всех фактов об этом осцилляторе. Тяжеловато для олимпиады. Требует линала и дифуров. Может быть, изобретательностью может быть сведено к одномерному осциллятору, но только не при упоминании спутника на нулевой высоте.

[dovlato]

Это как раз тот случай, когда изобретательность и воображение позволяют не прибегать к ДУ.
Я, к сожалению, не умею в ТЕХе рисовать, попытаюсь переложить словами известное остроумное доказательство того факта,
что одномерный осциллятор имеет квадрат частоты $\omega^2=k/m$.
Действительно, пусть точка массой $m$ вращается в плоскости по окружности радиуса $R$.
Центрострем. сила при этом равна $f=mR\omega^2$.
Проекция этой силы на (произвольную) фиксированную ось равна $f_x=f\cos \varphi$. Проекция смещения тела вдоль оси $x=R\cos \varphi$.
След-но, условный "коэфф. жёсткости" для смещения вдоль оси $k=f_x/x=m\omega^2$.
Вот и всё доказательство для пружины.
В случае же с планетой сила притяжения $f=\frac4{3}\pi Gm\rho R$, то есть снова сила пропорциональна расстоянию спутника от центра планеты.
Ну, мысленно убираем планету, прицепляем пружину с коэффициентом $k=\frac4{3}\pi Gm\rho$ - и получаем рассмотренную выше задачу.

[Munin]

Может быть, я был неправ.

[miflin]

Не знаю, почему так раскритиковали задачу...
Школьники знают, что для гармонических колебаний выполняется
$a=-\omega^2x$
Если они не знают об отсутствии притяжения внутри шарового слоя,
то это, в конце концов, можно оговорить в условии.
Никаких спутников на нулевой высоте и потенциалов $x^2+y^2$.
Далее просто составляются уравнения по сути такие, как при движении
тела по наклонной плоскости. И получается (если не допустил описки):

$\displaystyle h=\frac{g'T^2}{4\pi^2}$

$\displaystyle \rho=\frac{16\pi^3}{3\gamma T^2}$

Нормальная задача, имхо.

[Munin]

Да, я точно неправ. Всем пардон.

[dovlato]

Спасибо за поддержку, miflin. Во 2й формуле у меня получился иной коэффициент.
Приведу схему своего вывода.
На тело, находящееся на расстоянии $r$ от центра, действует гравит. сила $f=\frac4{3}\pi Gm\rho r$.
Отсюда потенциальная энергия $U(r)=\frac2{3}\pi Gm\rho r^2=\frac2{3}\pi Gm\rho (h^2+x^2)$.
Здесь $x$ - расстояние от вагона до точки туннеля, наиболее близкой к центру.
Отсюда $f_x=-\frac{dU}{dx}=-kx$,
где $k=\frac4{3}\pi Gm\rho$.
И наконец, $\omega^2=k/m=\frac4{3}\pi G\rho; \rho=\frac{3\pi}{GT^2}$.
Кстати, задача допускает небольшое усложнение, оставаясь решаемой в рамках школьной программы. Пусть туннель будет уже не прямой, а представляет собой цилиндрическую спираль с радиусом витка $h$, и с постоянным шагом навивки $a$. Я ничего не считал, так что ответа не знаю; ясно лишь, ускорение $g_1$ перестанет быть постоянным.

[miflin]

dovlato в сообщении #606168 писал(а):

Во 2й формуле у меня получился иной коэффициент.

Да, я лажанулся в выкладках. :-) У Вас верно.
А сила, как производная от потенциальной энергии - это в рамках школьной программы?