Покрытие и база ТП

[kw_artem]

застрял на следующей теореме:

Борисович, Близняков, Израилевич, Фоменко <<Введение в топологию>> писал(а):

Теорема 2: Покрытие $\{S_\alpha\}$ естественно порождает топологию в $X$, а именно совокупность множеств $\{V=\bigcap\limits_{\alpha\in K}S_\alpha\}$, где $K$ -- произвольное конечное подмножество из $\{\alpha\}$ -- база топологии.

Не пойму, вроде для того, чтобы какая-нибудь совокупность $\{V_\alpha\}$ была базой, нужно хотя бы, чтобы она была покрытием $X$. А в теореме совокупность конечных пересечений $S_\alpha$ не обязательно само будет покрытием. Например, если $X=[0, 1]$, и $S_1=[0, a]$, $S_2=(a, 1]$.

[apriv]

kw_artem в сообщении #605231 писал(а):

А в теореме совокупность конечных пересечений $S_\alpha$ не обязательно само будет покрытием. Например, если $X=[0, 1]$, и $S_1=[0, a]$, $S_2=(a, 1]$.

Отчего ж не будет? Вот и в Вашем примере $S_1$ и $S_2$ прекрасно покрывают $X$. Более того, если рассмотреть пустое $K$, то пересечение соответствующих $S_a$ вообще равно $X$, что уж тем более покрывает $X$.

[kw_artem]

apriv в сообщении #605233 писал(а):

пустое $K$, то пересечение соответствующих $S_\alpha$ вообще равно

а так можно? т.е. ничего не пересекать (пустое $K$)?

[apriv]

kw_artem в сообщении #605235 писал(а):

а так можно? т.е. ничего не пересекать (пустое $K$)?

В тексте-то ничего про непустоту $K$ не написано. Но даже если и брать только непустые, исходные-то $S_a$ никуда не денутся, и будут покрывать $X$; от добавления $X$ в базу ничего не изменится.

[kw_artem]

apriv в сообщении #605237 писал(а):

исходные-то никуда не денутся, и будут покрывать ;

да-да, но нужно тчобы пересечения покрывали

-- 12.08.2012, 11:55 --

пересечение $S_1$ и $S_2$ пустое

-- 12.08.2012, 11:57 --

kw_artem в сообщении #605238 писал(а):

В тексте-то ничего про непустоту $K$ не написано.

т.е. если брать пустое $K$ то пересечение $\bigcap\limits_{\alpha\in K}S_\alpha$ автоматически равно всему $X$ ?

[apriv]

kw_artem в сообщении #605238 писал(а):

apriv в сообщении #605237 писал(а):

исходные-то никуда не денутся, и будут покрывать ;

да-да, но нужно тчобы пересечения покрывали
пересечение $S_1$ и $S_2$ пустое

Множество $\{S_1,S_2\}$ является покрытием $X$. Множество $\{S_1,S_2,\emptyset\}$ — уж тем более.

[kw_artem]

все понял! спасибо, apriv

-- 12.08.2012, 12:04 --

постойте, ещё вопрос, если в пересечении $\bigcap\limits_{\alpha\in K}S_\alpha$ например $K=\{1\}$ то само пересечение и будет равно $S_1$?

[apriv]

kw_artem в сообщении #605240 писал(а):

постойте, ещё вопрос, если в пересечении $\bigcap\limits_{\alpha\in K}S_\alpha$ например $K=\{1\}$ то само пересечение и будет равно $S_1$?

А чему же еще может равняться пересечение системы из одного подмножества, как не этому самому подмножеству?

[Someone]

Эта штука называется предбазой топологии.