Гомотопия

[ChrShredinger]

Добрый вечер!
Читая про гомотопию, наткнулась на такую запись:

Цитата:

Пусть $f,g$ - два непрерывных отображения топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$, и пусть $H:X\cdot I\rightarrow Y$ - непрерывное отображение, такое, что $H(x,0)=f(x)$ и $H(x,1)=g(x)$ для всех $x$ принадлежащих $X$. Тогда отображения $f,g$ называются гомотопными, а $H$ называется гомотопией между $f$ и $g$

$\cdot$ - это "х" было в книге.
Собственно, я не очень поняла, что значит $H:X\cdot I\rightarrow Y$ - эта запись, и с $H$. Что значит запись в скобках?

[_hum_]

Декартово произведение?

[xmaister]

ChrShredinger в сообщении #604593 писал(а):

что значит $H:X\cdot I\rightarrow Y$

Это означает, что задано отображение из прямого произведения $X\times I$, где $I=[0,1]$ со стандартной топологией (индуцированной из $\mathbb{R}$), в $Y$. Прямое произведение $X\times I$- топологическое пространство, рассматривается с тихоновской топологией.

ChrShredinger в сообщении #604593 писал(а):

Что значит запись в скобках?

В каких скобках?

Небольшое добавление: Из гомотопности $f_0\simeq f_1$ следует, что индуцированные гомоморфизмы $H(f_1)$ и $H(f_0)$ групп гомологий $H_n(S(X))$ и $H_n(S(Y))$ равны, если $X$ и $Y$- евклидовы.

[ChrShredinger]

_hum_
точно! спасибо) просто мы еще не проходили этого, вот и не знаю... :)

xmaister
спасибо большое, теперь все прояснилось!

[xmaister]

(Оффтоп)

ChrShredinger, может стоит посмотреть основы теории множеств, прежде чем изучать топологию? Для может подойти, например, "Верещагин, Шень- Теория множеств" или "К.Куратовский, А. Мостовский- Теория множеств". Я учил по последнему.

[мат-ламер]

Другими словами, один путь непрерывно деформируется в другой.

[Nimza]

Вроде бы ещё есть интересная интерпретация: функции $f$ и $g$ можно соединить кривой в пространстве $C$ (то есть они лежат в одной "компоненте связности"). У Никайдо отсюда растёт интересная интерпретация теоремы Брауэра (константа и тождественное отображение лежат в одной "компоненте связности").

[xmaister]

Nimza в сообщении #605076 писал(а):

функции $f$ и $g$ можно соединить кривой в пространстве $C$

Что-то типа линейной связности?