Семейство голоморфных функций

[xmaister]

Пусть $E$- замкнутое ограниченное подмножество пространства голомофных на открытом подмножестве $\Omega$ комплексной плоскости. Почему каждая последовательность $\{f_i\}\subset E$ содержит подпоследовательность, равномерно сходящуюся на компактных подмножествах мноежства $\Omega$?

[ewert]

Это стандартная теорема, и её доказательство надо прочитать в учебнике. В принципе же -- хотя бы потому, доказывать предкомпактность достаточно для кружков, а для них, согласно интегральной формуле Коши, из равномерной ограниченности самих функций следует и равномерная ограниченность их производных и, следовательно, их равностепенная непрерывность, после чего теорема Арцела.

[Padawan]

xmaister в сообщении #604395 писал(а):

Пусть $E$- замкнутое ограниченное подмножество пространства голомофных на открытом подмножестве $\Omega$ комплексной плоскости.

Какими полунормами топология в этом пространстве задается? А множество в ТВП ограниченно тогда и только тогда, когда на нем ограничена любая полунорма из определяющей системы полунорм.

[xmaister]

ewert, погуглил и нашел, что это утверждение следует из теоремы Монтеля. Это то о чем Вы говорили?

[ewert]

xmaister в сообщении #604464 писал(а):

нашел, что это утверждение следует из теоремы Монтеля.

Что значит "следует" -- это теорема Монтеля и есть. Правда, непонятно,зачем Вы заставляете то множество быть ещё и "замкнутым".