X непрерывно вложено в Y

[samson4747]

Встретился со следующим обозначением

$$X\,\hookrightarrow\,Y$$

единственное, что знаю об этом обозначении, что так обозначают непрерывное вложение $X$ в $Y$, то есть $\operatorname{id}:\,(X,\,\tau)\to\,(Y,\,\tau_1):\ x\,\mapsto\,x$ непрерывно, тогда и только тогда когда

• на $X$ топология $\tau$ не слабее чем $\tau_1$;

или

• $\exists\,C>0:\ \|x\|_1\leqslant C\,\|x\|,\ \forall x\in X$.

Больше ничего не могу сказать, где можно почитать об этом, подскажите (расскажите) пожалуйста.

Пример хочется увидеть, а лучше парочку.

[xmaister]

samson4747 в сообщении #603641 писал(а):

непрерывное вложение в , то есть непрерывно, тогда и только тогда когда

Наверное имеется ввиду, что $X$- подмножество $Y$, иначе я не знаю, как это понимать. Если так, то любая любое компактное расширение будет непрерывным вложением, вроде так .

[samson4747]

xmaister в сообщении #603868 писал(а):

Наверное имеется ввиду, что $X$- подмножество $Y$

Если вы имеете ввиду $X\subset Y$, то это совсем не тоже самое.

[xmaister]

Тогда поясните, что значит

samson4747 в сообщении #603641 писал(а):

$\operatorname{id}:\,(X,\,\tau)\to\,(Y,\,\tau_1):\ x\,\mapsto\,x$

?

[Someone]

Ну, рассмотрим, например, числовую прямую $\mathbb R$ со стандартной топологией $\tau_1$ и с дискретной топологией $\tau$. Тогда тождественное отображение $\mathop{\mathrm{id}}_{\mathbb R}\colon(\mathbb R,\tau)\to(\mathbb R,\tau_1)$ будет этим самым "непрерывным вложением".

[samson4747]

xmaister в сообщении #603997 писал(а):

Тогда поясните, что значит

samson4747 в сообщении #603641 писал(а):

$\operatorname{id}:\,(X,\,\tau)\to\,(Y,\,\tau_1):\ x\,\mapsto\,x$

Единичное отображение.



Someone, начинает проясняться... можно ещё примерчик?

Если знаете книжечку где про это почитать, тоже буду благодарен за соответсвующую отсылку меня к книге.

[Portnov]

Насколько я знаю, в точном смысле это выражение применяется только тогда, когда $X \subseteq Y$. Иногда, правда, говорят о вложениях совсем разных множеств, когда на самом деле это функция вовсе не $x\mapsto x$, а более сложная, но всё равно очевидная. Ну, например, можно говорить о «вложении» пространства непрерывных функций в пространство $L_2$ (на отрезке), хотя второе вообще состоит не из функций, но всем понятно, какое именно отображение имеется ввиду.

[samson4747]

Portnov в сообщении #604045 писал(а):

... Ну, например, можно говорить о «вложении» пространства непрерывных функций в пространство $L_2$ (на отрезке), хотя второе вообще состоит не из функций, но всем понятно, какое именно отображение имеется ввиду.

Не понял. Можно пожалуйста чуть подробней?

Где можно об этом "непрерывном вложении" почитать и разобраться?

[Someone]

samson4747 в сообщении #604044 писал(а):

можно ещё примерчик?

Ну, Вам Portnov ещё один примерчик предложил.

samson4747 в сообщении #604049 писал(а):

Можно пожалуйста чуть подробней?

Рассмотрим пространство $L_2([0,1])$. Оно получается так. Рассмотрим множество измеримых функций на отрезке $[0,1]$, для которых существует интеграл Лебега $\int\limits_0^1f^2(x)d\mu$. Функции $f$ и $g$ будем называть эквивалентными, если мера множества $\{x\in[0,1]:f(x)\neq g(x)\}$ равна нулю. Элементами пространства $L_2([0,1])$ являются классы эквивалентных функций. Норма на этом пространстве определяется формулой $\|f\|_2=\sqrt{\int\limits_0^1f^2(x)d\mu}$.
В пространстве непрерывных функций $C([0,1])$ норма определяется формулой $\|f\|=\max\{|f(x)|:x\in[0,1]\}$.
Естественное непрерывное вложение $C([0,1])\to L_2([0,1])$ получим, если (непрерывной) функции $f\in C([0,1])$ поставим в соответствие тот класс $\tilde f$ эквивалентных функций, которому она принадлежит.
Ну и, наконец, легко показать, что для всякой функции $f\inC([0,1])$ будет $\|\tilde f\|_2\leqslant\|f\|$, то есть, константа $C$ в Вашем неравенстве равна $1$.

Здесь, как и говорил Portnov, $C([0,1])$ формально не является подмножеством $L_2([0,1])$. Но мы можем сначала вложить $C([0,1])$ в $L_2([0,1])$, а потом уже сравнивать топологии.

Смотрите литературу по функциональному анализу (например, А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа) и по общей топологии ("сравнение топологий").

[samson4747]

Нашёл информацию тут: Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения.
За примеры премного благодарен.

Portnov, Someone
Благодарю.