Вы спрашиваете, почему из того, что
при всех
сдедует, что
?
Нет. Я спрашиваю, почему из
при всех
, следует, что
.
Предложу свой вариант доказательства того, что Ваше определение тензорного произведения правильное.
Пусть
--
какое-то тензорное произведение, и соответствующее ему билинейное отображение,
.
Рассмотрим билинейное отображение
,
,
. По свойству тензорного произведения существует единственное линейное отображение
, удовлетворяющее равенству
. Покажем, что
-- линейный изоморфизм между
и
. То, что это отображение на все
следует из того, что
по определению порождается элементами
. Покажем, что
-- инъекция. Пусть
.
можно записать как
, где
-- базис линейной оболочки векторов
, а
-- базис линейной оболочки векторов
(сумма по
-- конечная). Итак,
или
или
для любых
. Фиксируем индексы
. Выберем функционалы
так, чтобы
,
(это возможно, т.к. вектора
и
линейно независимы). Из
получится
. Значит,
. Значит,
-- инъекция.
Итак, имеем коммутативную диаграмму
в которой
-- изоморфизм.
Значит
вместе с билинейным отображением
тоже является тензорным произведением.