Помогите решить алгебраическое уравнение с одной переменной

[magres]

$\sqrt{x+a_1}+\sqrt{x+a_2}+\ldots+\sqrt{x+a_n}=A$

$a_i, i=1\ldots n$ некоторые числа, при некотором натуральном n

[Sonic86]

Интересно, а оно вообще в радикалах разрешимо при $n>2$?

[Sender]

При n=3 wolframalpha выдаёт какой-то сумасшедший многостраничный ответ.

(Оффтоп)

Вот одно из решений уравнения $\sqrt{x}+\sqrt{x+b}+\sqrt{x+c}=A$
http://postimage.org/image/rnj53ug3f/

[Евгений Машеров]

Похоже, только численно.

[Cash]

При $n\leq4$ возведениями в квадрат легко показать, что корень будет алгебраическим числом.
Вопрос: будет ли он алгебраическим при $n\geq 5$

[timots]

Постройти треугольник Паскаля:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…
-, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19…
-, -, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2…

[nnosipov]

Cash в сообщении #601753 писал(а):

Вопрос: будет ли он алгебраическим при $n\geq 5$

Разумеется, будет. Радикалы убираются при любом $n$. Вообще, есть теорема: сумма (произведение) алгебраических элементов есть алгебраический элемент. В данном примере речь идёт об алгебраичности над полем $\mathbb{Q}(a_1,\dots,a_n,A)$ рациональных дробей.

[Mathusic]

magres
Вы, быть может, втсретили подобное уравнение для $n=2$, а потом решили обобщить?
Так было?

[magres]

Это является частным случаем метода наименьших квадратов для нелинейной функции. Если аналитически никак, то как лучше численно?

[Sonic86]

magres в сообщении #601839 писал(а):

Это является частным случаем метода наименьших квадратов для нелинейной функции. Если аналитически никак, то как лучше численно?

А численно все очевидно: корень 1, ищите методом Ньютона, например.

[Евгений Машеров]

Делением пополам, например. Взяв в качестве границ корня
$x=\frac {A^2} {n^2}-a_{max}$ и $x=\frac {A^2} {n^2}-a_{min}$

[muzeum]

nnosipov в сообщении #601758 писал(а):

Cash в сообщении #601753 писал(а):

Вопрос: будет ли он алгебраическим при $n\geq 5$

Разумеется, будет. Радикалы убираются при любом $n$. Вообще, есть теорема: сумма (произведение) алгебраических элементов есть алгебраический элемент. В данном примере речь идёт об алгебраичности над полем $\mathbb{Q}(a_1,\dots,a_n,A)$ рациональных дробей.

Факт алгебраичности, конечно, очевиден. Это можно понять (наиболее быстро) из модельной полноты теории алгебраически замкнутых полей, или прямо - введя новые неизвестные для каждого корня квадратного.
Но, может быть, уважаемый Nnosipov имеет ввиду какой-нибудь более очевидный способ "избавления от корней"?

[nnosipov]

muzeum в сообщении #601854 писал(а):

Но, может быть, уважаемый Nnosipov имеет ввиду какой-нибудь более очевидный способ "избавления от корней"?

Домножим на все сопряжённые выражения, и радикалы исчезнут. Для квадратных радикалов это даже школьники понимают. Вот школьная задачка в тему (XIX турнир городов): Перемножаются все выражения вида

$$ \pm \sqrt{1} \pm \sqrt{2} \pm \ldots \pm \sqrt{100} $$

(при всевозможных комбинациях знаков). Докажите, что результат является а) целым числом; б) квадратом целого числа.

[Mathusic]

nnosipov в сообщении #601867 писал(а):

Домножим на все сопряжённые выражения, и радикалы исчезнут.

$\sqrt{x+a}=A$ на что домножаем, например?

[nnosipov]

Mathusic, ну уж сами сообразите.