Неравенство со страшным словом кватернион

[arqady]

Докажите, что для любых кватернионов $a$, $b$ и $c$, сумма которых равна нулю, выполняется:

$$\max\{|a|, |b|, |c|\}\leq\sqrt{\frac{2}{3}\left(|a|^2+|b|^2+|c|^2\right)}$$

[lek]

Геометрически элементы алгебры кватернионов можно представить как векторы в $\mathbb{R}^4$. Поэтому условие $a+b+c=0$ означает, что существует треугольник с длинами сторон $|a|$, $|b|$ и $|c|$. Таким образом, задача сводится к доказательству указанного неравенства для сторон произвольного треугольника. Кстати, если слово "кватернионов" заменить на "октонионов", суть задачи не изменится.

[lek]

Да, еще... Неравенство сохранится, если коэффициент 2/3 заменить на 1/2.

[arqady]

lek в сообщении #596941 писал(а):

Неравенство сохранится, если коэффициент 2/3 заменить на 1/2.

Нет: $a=b=1$ и $c=-2$.

[lek]

arqady в сообщении #596946 писал(а):

Нет...

Вы правы, нашел дырку в док-ве.

[Mathusic]

arqady в сообщении #596906 писал(а):

Докажите, что для любых кватернионов $a$, $b$ и $c$, сумма которых равна нулю, выполняется:

$$\max\{|a|, |b|, |c|\}\leq\sqrt{\frac{2}{3}\left(|a|^2+|b|^2+|c|^2\right)}$$

Неравенство справедливо для всякого конечномерного вещественного линейного пространства (в частности, для октонионов, да, например) и для всякого скалярного произведения.
Для определенности положим $|a| \leqslant |b| \leqslant |c|$, тогда, возведя исходное н-во в квадрат, получим: $2|a|^2+2|b|^2-|c|^2 \geqslant 0.$

Если $(x,y)$ - скалярное произведение, то $|x|^2=(x,x).$
Для векторов $a,b,c$ имеем $a+b=-c$, откуда $(a+b,a+b)=(c,c)$, то есть $|c|^2=|a|^2+|b|^2+2(a,b).$
Подставляя это в последнее неравенство, получим $2|a|^2+2|b|^2-|a|^2-|b|^2-2(a,b)=(a-b,a-b) \geqslant 0.$