Площадь = полупериметр на радиус

[Dave]

Пусть $S$ - площадь некоторого произвольного треугольника, $R$ - радиус описанной вокруг него окружности, $p$ - полупериметр его ортотреугольника. Докажите, что

$$S=pR.$$

(Примечание)

Ортотреугольник - это треугольник, вершины которого являются основаниями высот данного треугольника. Длины сторон ортотреугольника при вычислении его полупериметра считаются знаковыми.
В случае, когда исходный треугольник - остроугольный, все стороны ортотреугольника лежат целиком внутри него и берутся положительными.
В случае, когда исходный треугольник - тупоугольный, две вершины ортотреугольника находятся снаружи исходного треугольника и сторона, образованная ими, считается отрицательной, две другие стороны - положительными.
В случае, когда исходный треугольник - прямоугольный, ортотреугольник - вырожденный, одна сторона равна нулю, а две другие равны высоте, опущенной на гипотенузу, взятой со знаком плюс.

[TOTAL]

Соединим центр $O$ описанной окружности с вершинами тр-ка $ABC$ и найдем площадь этого тр-ка как сумму площадей трех равнобедренных тр-ков ($ABO$ и т.д):
$S=\frac{R}{2}\left(a \sin\frac{B+C-A}{2} +b \sin\frac{A+C-B}{2} +c \sin\frac{A+B-C}{2} \right)$
Осталось заметить, что в скобках стоят длины сторон ортотреугольника.

[arqady]

Dave в сообщении #595785 писал(а):

Ортотреугольник - это треугольник, вершины которого являются основаниями высот данного треугольника.

Меня учили, что этот треугольник называется педальный треугольник

[Dave]

TOTAL в сообщении #595826 писал(а):

Соединим центр $O$ описанной окружности с вершинами тр-ка $ABC$ и найдем площадь этого тр-ка как сумму площадей трех равнобедренных тр-ков ($ABO$ и т.д):
$S=\frac{R}{2}\left(a \sin\frac{B+C-A}{2} +b \sin\frac{A+C-B}{2} +c \sin\frac{A+B-C}{2} \right)$
Осталось заметить, что в скобках стоят длины сторон ортотреугольника.

Можно ещё проще, соднинить $O$ с вершинами ортотреугольника $A_1B_1C_1$ и вычислить $S$ как сумму площадей четырёхугольников $OB_1AC_1$, $OC_1BA_1$ и $OA_1CB_1$, заметив, что $OA \perp B_1C_1$ и т.д.

arqady в сообщении #595828 писал(а):

Dave в сообщении #595785 писал(а):

Ортотреугольник - это треугольник, вершины которого являются основаниями высот данного треугольника.

Меня учили, что этот треугольник называется педальный треугольник

Нет, подерный или педальный треугольник - это более общий случай, когда вершины являются основаниями перпендикуляров, опущенных на стороны из произвольной точки, а не обязательно из ортоцентра.