Докажите, что множество счетное

[xmaister]

Пусть $S$- бесконечное множество вещественных чисел, такое что $|s_1+\ldots +s_k|<1$ для каждого конечного подмножества $\{s_1,\ldots ,s_k\}\subset S$. Докажите, что $S$- счетно.

(Источник)

IMC

[ewert]

У него есть супремум и инфимум. И если хоть один из них не равен нулю и не является изолированным -- удастся набрать сколь угодно большую по модулю сумму. Далее -- по индукции.

[mihailm]

У несчетного множества полно точек конденсации, которые и подавно являются предельными точками
См. например Натансон ТФВП глава 2 посл параграф

[xmaister]

mihailm, Натансона в данный момент скачать не могу (инет жутко тупит). Попытался сам эту вещь доказать. Пусть $S$- не счетно и $x\in (-1,1)$- точка конденсации. Положим, что для любого $y\in (-1,1)$ существует $U_y$, такое что $U_y\cap((-1,1)\setminus \{x\})\cap S$ не более чем счетно. $S\setminus \{x\}=(S\setminus \{x\})\cap\bigcup\limits_{y\in (-1,1)\setminus \{x\}}U_y$, а т.к. $\mathbb{R}$- Линделёфово, то $S\setminus \{x\}=(S\setminus \{x\})\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_{yi}$, что противоречит несчетности $S$. Значит точек конденсации не менее чем счетно. Т.е. сумму можно сделать сколь угодно великой. Так?

[ewert]

Да при чём тут Линделёф или даже Натансон. Очевидно же, что это множество не может иметь ни одной предельной точки, отличной от нуля. Т.е. что на любом промежутке, отделённом от нуля, количество точек множества не более чем конечно. Ну а выколотая окрестность нуля покрывается счётным набором таких промежутков, вот и всё.

[mihailm]

Идейно правильно, еще линделефовость какая-то (это из бесконечной покрывающей системы можно выбрать счетную?)

Лучше сам напишу) в начале докажем что есть одна точка конденсации
настряпаем интервалов с рациональными концами в которых не более чем счетное число точек покрывающих наше множество.
Далее, вычтем из нашего множества все точки конденсации получим счетное, значит точек конденсации несчетно (оно кстати совершенно)

[xmaister]

mihailm в сообщении #595714 писал(а):

это из бесконечной покрывающей системы можно выбрать счетную?

Да, такое определение в Энгелькинге даётся, я тут не при чем.

[hippie]

Не понимаю, зачем всем потребовались предельные точки.

Каждое из множеств $S_{n+} = S\bigcap (\frac 1n;\ +\infty )$ и $S_{n-} = S\bigcap (-\infty;\ -\frac 1n )$ содержит менее $n$ чисел.
Поэтому $S$ является объединением счётного числа конечных множеств:

$$S=(S\bigcap \{0\})\bigcup(\bigcup\limits_{n=1}^\infty (S_{n+}\bigcup S_{n-})),$$

и, следовательно, не более чем счётно.

[Профессор Снэйп]

xmaister в сообщении #595667 писал(а):

Пусть $S$- бесконечное множество вещественных чисел, такое что $|s_1+\ldots +s_k|<1$ для каждого конечного подмножества $\{s_1,\ldots ,s_k\}\subset S$. Докажите, что $S$- счетно.

В множестве не более двух чисел с модулем $> 1/2$, не более четырёх чисел с модулем $> 1/3$ и т. д.