Обратное преобразование Лапласа

[Leox]

Нужно найти оригинал функции

$$ \dfrac{1}{(-i p)^{\alpha}+1}, 0<\alpha <1, i^2=-1. $$

Если $\alpha$ - натуральное число то все более-менее понятно. Как поступать при дробном $\alpha$?

[Vince Diesel]

Это фундаментальное решение оператора типа $D^\alpha +1$ что ли? Не факт, что оно хорошо выражается.

[Leox]

Хоть как-нибудь

[Vince Diesel]

Лучше бы упоминать исходную задачу. Если нужно ф.р., то есть другие методы.

[Leox]

Нет, ето не фундаментальное решение. Исходная задача, возникающая при расчете транзисторов, состоит именно в нахождении оригинала функций указаного вида.

[Vince Diesel]

Leox в сообщении #593997 писал(а):

Исходная задача, возникающая при расчете транзисторов, состоит именно в нахождении оригинала функций указаного вида.

Но сама-то задача формулируется, наверное, без преобразования Лапласа.

Ответ такой, если я нигде не просчитался:

$$ \sum _{n=1}^{\infty } (-1)^{n+1}\frac{ (-i)^{\alpha n} t^{\alpha n-1}}{\Gamma (\alpha n)} $$

и получен он исходя из той интерпретации, что я написал выше. Например, для $\alpha=1/2$
он упрощается до

$$ \frac{1-i}{\sqrt{2 \pi x}}+i e^{-i x} \left(1+\text{erf}\left(e^{\frac{3 i \pi }{4}} \sqrt{x}\right)\right). $$

Для рациональных $\alpha$ ответ выражается через гипергеометрические функции.
А вообще, сумма ряда для $\alpha>0$

$$ \sum _{n=1}^{\infty } \frac{z^n}{\Gamma (n a)} $$

являтся целой функцией порядка $\alpha^{-1}$ и имеет даже название. Вот только не помню, какое

[Leox]

Vince Diesel в сообщении #594019 писал(а):

Leox в сообщении #593997 писал(а):

Исходная задача, возникающая при расчете транзисторов, состоит именно в нахождении оригинала функций указаного вида.

Но сама-то задача формулируется, наверное, без преобразования Лапласа.

Ответ такой, если я нигде не просчитался:

$$ \sum _{n=1}^{\infty } (-1)^{n+1}\frac{ (-i)^{\alpha n} t^{\alpha n-1}}{\Gamma (\alpha n)} $$

и получен он исходя из той интерпретации, что я написал выше.

Спасибо.
Тоже самое получится если разложить в ряд дробь, и потом взять обратное преобразование Лапласа от каждого слагаемого. Но корректно ли ето, коммутирует ли обратное преобразование с разложением в ряд ?

Цитата:

Например, для $\alpha=1/2$
он упрощается до

$$ \frac{1-i}{\sqrt{2 \pi x}}+i e^{-i x} \left(1+\text{erf}\left(e^{\frac{3 i \pi }{4}} \sqrt{x}\right)\right). $$

Для рациональных $\alpha$ ответ выражается через гипергеометрические функции.
А вообще, сумма ряда для $\alpha>0$

$$ \sum _{n=1}^{\infty } \frac{z^n}{\Gamma (n a)} $$

являтся целой функцией порядка $\alpha^{-1}$ и имеет даже название. Вот только не помню, какое

Спасибо, буду уточнять.

[Leox]

У меня другой ответ получился. Используя формулу

$$ \mathcal{L}\left( \frac{t^{\beta-1}}{\Gamma(\beta)} \right)=\frac{1}{p^\beta}, $$

имеем

$$ \frac{1}{(-i p)^\alpha+1}=\sum_{n=0}^{\infty}((-1)^n (-ip)^\alpha)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (-i)^{n\alpha} p^{\alpha n}=\mathcal{L}\left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(-i)^{n\alpha} }{\Gamma(-\alpha n)} \frac{1}{t^{\alpha n+1}}\right). $$

Кто неправ?

[Vince Diesel]

Ну, подставьте $\alpha=1$. А функция эта Митаг-Лефлера, см. также ссылку там на дробные производные. Так что можно поробовать просто найти преобразование Лапласа от нее. Учитывая, что ответ простой, вероятно, это где-нибудь написано.

[Leox]

Большое спасибо за наводку на функцию Миттаг-Лефлера.. Хотя полученное выражение не факт что выразится через ету функцию