Игра со спичками (нетривиальная)

[Ktina]

Холмс и Ватсон играют в такую игру. Вначале имеется $n$ кучек спичек по одной спичке в каждой кучке.
Ходы делают поочерёдно, начинает Холмс.
За один ход разрешается выбрать две кучки, числа спичек в которых взаимопросты, и сложить эти две кучки в одну.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Для каждого $n\in\mathbb N$ определить, кто выигрывает при правильной игре обеих сторон.

[hippie]

Ответ: при $n \ne 2$ выигрывает второй игрок.

При нечётном $n$ он каждым своим ходом объединяет 2 наибольшие кучки.
При чётном $n$ он играет так же, до тех пор, пока останется 3 кучки (при этом одна или две из них состоят из одной спички). После этого он объединяет одну спичку с нечётной кучкой.

[temp03]

(Оффтоп)

не бывает нетривиальных игр со спичками, бывают только тривиальные. Спички детям не игрушка!

[Профессор Снэйп]

hippie в сообщении #593006 писал(а):

При нечётном он каждым своим ходом объединяет 2 наибольшие кучки.

А если числа спичек в наибольших кучках не взаимнопросты?

[Shadow]

Профессор Снэйп в сообщении #593935 писал(а):

А если числа спичек в наибольших кучках не взаимнопросты?

На практике будет только одна большая куча с нечетное число спичек и все остальные единичные. Если А кладет спичку в большую кучу, то и Б кладет спичку туда, а если А делает кучку из 2-х спичек, то Б объединяет их (т.к в большой нечетное число). И так пока дело де дойдет до ход А при
1,1,нечетное
или
1,1,1,нечетное

В обеих случаях А проигрывает