Исследовать ф-цию на наличие особых точек

[Arhelius]

Исследовать ф-цию на наличие особых точек

$f(z)={e}^{\cot \frac{1}{z-1}}$

собственно решение:

$z_0=1$ не является существенно особой точкой, тк нарушено условие регулярности в проколотой окрестности ( тут такой окресности просто не существует).
$z_n=1+\frac{1}{\pi n}, n=\pm 1,\pm 2...$ - существенно особые точки, тогда $z_0=1$ это предельная точка для этих особых точек.

Теперь к вопросам : во-первых какого рода нарушается регулярность ( тоесть получается что бывает несколько видов нарушения регулярности? ) и во-вторых можно ли доказать, что точки существенные( предел не существует), рассматривая пределы для 2х последовательностей ${z}_{n}'=1+\frac{1}{2\pi n}\rightarrow 1$ и ${z}_{n}''=1+\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n}\rightarrow 1$ при n -> бесконечности ?

[ewert]

Arhelius в сообщении #590987 писал(а):

во-вторых можно ли доказать, что точки существенные( предел не существует),

Рассмотрите поведение функции в окрестности каждой особой точки $z_n$ вдоль горизонтальной прямой $z=z_n+t, \ t\in\mathbb R$. На этой прямой функция вещественна, и её поведение как при $t\to+0$, так и при $t\to-0$ очевидно.