Кватернионы

[Unconnected]

Почему $qpq^{-1}=qpq^{*}$ ? ($q^{*}$ - сопряженный)

[ИСН]

Потому что небо зелёное.

[Unconnected]

А. Глупый вопрос. Точнее, это верно только если $|q|=1$, это наверное и подразумевалось.

Тут ещё описывается группа вращений пространства $R^3$ вокруг начала координат. Т.е. сначала рассматривалось отображение $\bar{p} \to \bar{q}\bar{p}\bar{q}^{-1}$, и было показано, что оно является вращением $\bar{p}$ вокруг $\bar{e} || Im(q)$. А как это связано с вращениями пространства (и как его вращают?)?

А.. может, каждому единичному кватерниону сопоставляется отображение, которые все векторы переводит в повернутые, вот и вращение..

[Bulinator]

Unconnected в сообщении #589395 писал(а):

А.. может, каждому единичному кватерниону сопоставляется отображение, которые все векторы переводит в повернутые, вот и вращение..

Именно так. Каждый кватнрнион представляется ввиде $p=p_4+p_i{\bf e}_i$, $(i=1,2,3)$где ${\bf e}_i$- кватернионный бызис $({\bf i},{\bf j},{\bf k})$․
Как вы можете видеть, при преобразовании $p\to q p q^*$, норма вектора $|p|^2=pp^*$ сохраняется. Легко видеть, что если взять $p_4=0$ и отождествить $p_i$ с координатами 3-хмерного пр.-ва, то ваше преобразование будет вращать этот трехмерный вектор сохраняя его норму.

Однако, заметим, что $\pm q$ отвечают одному и тому же преобразованию. А значит, кватернионы относительно своего умножения образуют группу, дважды покрывающую группу вращений $SO(3)$. Это группа- $SU(2)$.

[Unconnected]

Угу, понятно. Спасибо.

[мат-ламер]

Bulinator в сообщении #589426 писал(а):

А значит, кватернионы относительно своего умножения образуют группу,

Кватернионы с единичной нормой?

[Bulinator]

мат-ламер в сообщении #589432 писал(а):

Кватернионы с единичной нормой?

Ага!