Функция Грина в краевых задачах

[victory2790]

Доброго времени суток!

Помогите,пожалуйста, довести задачу до конца!

Записать в интегральной форме с помощью функции Грина решение краевой задачи:
$y''-y=f(x), y(0)=y'(0), y(l)+y'(l)=0 (l>0)$

вот начало:
решим однородное уравнение (f(x)=0)
$\lambda_1=0, \lambda_2=1$
$y(x)=C_1+C_2e^x$
подставив краевые условия получим:
$\left\{\begin{array}{ll} C_1=0,\\ 2C_2e^l=0,\end{array}}\right$
$C_1=C_2=0, \to y=0$
т.о. имеем лишь тривиальное решение, поэтому существует функция Грина,с помощью к-ой запишем в интегральной форме
$y(x)=\int\limits_0^l{G(x,s)f(s)ds, x\in\mathbb[0,l]}$

а вот дальше ступор..

[ewert]

victory2790 в сообщении #588814 писал(а):

$\lambda_1=0, \lambda_2=1$

Неправда.

[victory2790]

блин...щас исправлю:
решим однородное уравнение (f(x)=0)
$\lambda_1=1, \lambda_2=-1$
$y(x)=C_1e^x+C_2e^{-x}$
подставив краевые условия получим:
$\left\{\begin{array}{ll} 2C_2=0,\\ 2C_1e^l=0,\end{array}}\right$
$C_1=C_2=0, \to y=0$
т.о. имеем лишь тривиальное решение, поэтому существует функция Грина,с помощью к-ой запишем в интегральной форме
$y(x)=\int\limits_0^l{G(x,s)f(s)ds, x\in\mathbb[0,l]}$

всё-равно дальше ступор...

[ewert]

Выпишите какое-либо решение, удовлетворяющее только левому граничному условию (в конце концов, оно легко и угадывается). Затем -- решение, удовлетворяющее только правому условию. Потом склейте из этих двух решений стандартным образом функцию Грина.

[victory2790]

но если выписывать для первого граничного условия то получим
$y'=C_1e^x-C_2e^{-x}$
$C_1+C_2=C_1-C_2$
$2C_2=0...$
мы должны получить линейную зависимость, но тут не получается почему-то

[ewert]

Какую ещё линейную зависимость?... Каждому граничному условию самому по себе отвечает вполне определённое решение (т.е. определённое с точностью до постоянного множителя, который в данном случае не важен). Вот и выписывайте такое решение.

[victory2790]

но там же нулевые константы выходят в обоих случаях.....

[ewert]

victory2790 в сообщении #588852 писал(а):

там же нулевые константы выходят

Как они могут быть нулевыми, если у Вас только одно условие на них?...

[victory2790]

victory2790 в сообщении #588839 писал(а):

для первого граничного условия
$y'=C_1e^x-C_2e^{-x}$
$C_1+C_2=C_1-C_2$
$2C_2=0...$

[victory2790]

в чем моя ошибка? почему не получается?

[ewert]

victory2790 в сообщении #588895 писал(а):

в чем моя ошибка? почему не получается

Ошибок нет, а не получается -- потому что не пытаетесь.

ewert в сообщении #588833 писал(а):

Выпишите какое-либо решение, удовлетворяющее только левому граничному условию

Так выпишите же наконец. Вы уже начали выписывать, но затем почему-то остановились.

[victory2790]

$для второго граничного условия C_1e^l+C_2e^-l+C_1e^l-C_2e^-l=0, 2C_1e^l=0$
но они оба тривиальные получаются,а нам такое не подходит жее.....

[ewert]

victory2790 в сообщении #588979 писал(а):

$для второго граничного условия C_1e^l+C_2e^-l+C_1e^l-C_2e^-l=0, 2C_1e^l=0$

Господь с Вами. Откуда Вы это выкопали-то?... Вы что, издеваетесь?... Ну тогда так честно и скажите.

[victory2790]

из краевых условий...ну как же...я уже незнаю

-- 25.06.2012, 19:42 --

секунду....вот так?
$y_1(x)=e^x, y_2(x)=e^{-x}$

-- 25.06.2012, 19:56 --

тогда функция Грина $G(x,s)=\frac{-1}{2}\left\{\begin{array}{ll}e^xe^{-s}, pri 0\leqslant x<s<1,\\e^se^{-x}, pri 0<s<x\leqslant 1,\end{array}}\right$

так???