CP^n

[xmaister]

Является ли $\mathbb{C}P^n$ многообразием?

[FFFF]

Да (можно задать атлас)

[xmaister]

FFFF, не получается. Была идея отождествить точки $\mathbb{C}P^n$ с $\mathbb{S}^{2n}$ и выколоть из $\mathbb{S}^{2n}$ две различные произвольные точки, тогда получаем набор из двух карт. Но как отображение на $\mathbb{R}^{2n}$ подобрать, чтобы получилась гладкая структура не пойму. Подскажите.

[apriv]

xmaister в сообщении #588295 писал(а):

Является ли $\mathbb{C}P^n$ многообразием?

Каким многообразием? Комплексным, вещественным, алгебраическим?
Ежели речь про гладкое многообразие, можно, например, взять в качестве сечений структурного пучка симметричные функции на симметричных открытых подмножествах сферы (при реализации как фактора сферы по действию двухэлементной группы). Гладкая структура на сфере индуцируется с объемлющего пространства на единицу большей размерности.

[FFFF]

xmaister
Как на $\mathbb{R}P^n$ атлас задать, знаете? С $\mathbb{C}P^n$ я не пробовал, но, я думаю, аналогично, с точностью до замены всех вещественных чисел комплексными.

apriv в сообщении #588543 писал(а):

Ежели речь про гладкое многообразие, можно, например, взять в качестве сечений структурного пучка симметричные функции на симметричных открытых подмножествах сферы (при реализации как фактора сферы по действию двухэлементной группы).

Не подскажете, для непосвящённых, что значат эти умные слова про "сечения структурного пучка"?

[xmaister]

apriv в сообщении #588543 писал(а):

взять в качестве сечений структурного пучка симметричные функции на симметричных открытых подмножествах сферы

Из всего сказанного я понял только про симметричные открытые подмножества . А просто в явном виде атлас задать не получится?

-- 24.06.2012, 17:15 --

FFFF в сообщении #588546 писал(а):

Как на $\mathbb{R}P^n$ атлас задать, знаете?

Да, спасибо, попробую.

[apriv]

FFFF в сообщении #588546 писал(а):

Не подскажете, для непосвящённых, что значат эти умные слова про "сечения структурного пучка"?

Многообразие — это топологическое пространство с подпучком пучка непрерывных функций на нем, локально изоморфным пучку (алгебр) гладких функций на $\mathbb R^n$.

[FFFF]

xmaister
В однородных координатах всё просто делается.
Просто доказывать, что пространство является многообразием можно не только с помощью атласа; но здесь, по-моему, проще просто явно указать атлас.

-- 24.06.2012, 17:25 --

apriv в сообщении #588551 писал(а):

Многообразие — это топологическое пространство с подпучком пучка непрерывных функций на нем, локально изоморфным пучку (алгебр) гладких функций на .

Понял, спасибо! Неструев даёт такое же определение, просто без слова "пучок". Что есть этот самый пучок и что есть его сечения мне неизвестно, собственно про них и спрашивал.

[apriv]

FFFF в сообщении #588554 писал(а):

Понял, спасибо! Неструев даёт такое же определение, просто без слова "пучок"

Это не вполне «такое же» определение; у Неструева достаточно задать одну алгебру (функции на всем многообразии), а тут их целый пучок. Вообще говоря, пучок алгебр несет больше информации, чем одна алгебра, но для аффинных многообразий (в частности, для проективной плоскости), одной алгебры достаточно.

-- 24.06.2012, 17:29 --

Пучок функций в данном случае — это задание алгебры функций на каждом открытом подмножестве, а не только на всем многообразии, с отображениями «ограничения» при переходе к меньшему подмножеству, удовлетворяющее нехитрым аксиомам.

[g______d]

apriv в сообщении #588557 писал(а):

для аффинных многообразий (в частности, для проективной плоскости), одной алгебры достаточно.

Проективная плоскость разве аффинна? Наверное, это так, если рассматривать ее как гладкое многообразие (она будет спектром кольца гладких функций), но ни разу не встречал такого употребления термина.

-- 24.06.2012, 18:16 --

apriv в сообщении #588557 писал(а):

Это не вполне «такое же» определение; у Неструева достаточно задать одну алгебру (функции на всем многообразии), а тут их целый пучок. Вообще говоря, пучок алгебр несет больше информации, чем одна алгебра, но для аффинных многообразий (в частности, для проективной плоскости), одной алгебры достаточно.

-- 24.06.2012, 17:29 --

Пучок функций в данном случае — это задание алгебры функций на каждом открытом подмножестве, а не только на всем многообразии, с отображениями «ограничения» при переходе к меньшему подмножеству, удовлетворяющее нехитрым аксиомам.

В ситуации с гладкими многообразиями пучок восстанавливается по глобальным сечениям, т. к. есть разбиение единицы.

[FFFF]

apriv
Ага, спасибо, теперь различие совсем понятно.

[Oleg Zubelevich]

apriv в сообщении #588543 писал(а):

Ежели речь про гладкое многообразие, можно, например, взять в качестве сечений структурного пучка

эспЭрт

$\mathbb{C}P^n$ по определению это множество наборов $(z_1,\ldots,z_{n+1})\in\mathbb{C}^{n+1}\backslash\{0\}$ с известным отношением эквивалентности (наборы $(z_1,\ldots,z_{n+1})$ и $(z'_1,\ldots,z'_{n+1})$ задают одну точку на $\mathbb{C}P^n$, если $(z_1,\ldots,z_{n+1})=\lambda(z'_1,\ldots,z'_{n+1})$ ) . Соответственно получаем $n+1$ карту $A_j=\{(z_1,\ldots,z_{j-1},1,z_{j+1},\ldots,z_{n+1})\}$ комплексного $n-$мерного многообразия.

[apriv]

g______d в сообщении #588580 писал(а):

Проективная плоскость разве аффинна? Наверное, это так, если рассматривать ее как гладкое многообразие (она будет спектром кольца гладких функций), но ни разу не встречал такого употребления термина.

Ну да, аффинна в том смысле, что функтор глобальных сечений является строгим.

[xmaister]

Oleg Zubelevich, большое спасибо! Именно это я и хотел