Всегда ли цифр поровну?

[Ktina]

Для всех ли натуральных $n$ верно, что в десятичной записи чисел $2222^n$ и $2222^n+2^n$ цифр поровну?

[worm2]

Да.
$0<10^m-2222^n \leqslant 2^n$
$0<5^m 2^{m-n}-1111^n \leqslant 1$
$5^m 2^{m-n}=1111^n+1$, облом.

[Ktina]

worm2 в сообщении #586380 писал(а):

Да.
$0<10^m-2222^n \leqslant 2^n$
$0<5^m 2^{m-n}-1111^n \leqslant 1$
$5^m 2^{m-n}=1111^n+1$, облом.

Неудачно я число 2222 подобрала. Хотела свести к облому по остаткам на 16, а про пятёрку забыла.
Если вместо 2222 взять любое достаточно большое число с остатком 14 при делении на 16, ответ будет тот же.