Существуют ли такие функции...

[VladTK]

Здраствуйте!

Возникла интересная задача. Сам я не силен в подобной математике, а потому буду премного благодарен за помощь.

Требуется найти две функции $f_1(x,y), f_2(x,y)$ двух переменных $x,y$, которые совпадают друг с другом. Но первая функция зависит от аргумента $x+2y$, а вторая от $x+y$. Т.е.

$$ f_1(x+2y)=f_2(x+y) $$

Существуют ли вообще такие функции?

[ИСН]

VladTK в сообщении #585628 писал(а):

функции (...) двух переменных

Здесь я вижу слово "двух".

VladTK в сообщении #585628 писал(а):

$f_1(x+2y)$

Здесь я вижу функцию от одной переменной.
Согласуйте.

[mihailm]

ноль предлагаю взять

[VladTK]

Я плохо сформулировал условие задачи. Попробую по другому.

Найти такую функцию $F(x,y)$ (или функции, если их может быть много), что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка

$$ \frac{\partial F}{\partial x}-a \frac{\partial F}{\partial y}=0 $$

$$ \frac{\partial F}{\partial x}-\frac{a}{2} \frac{\partial F}{\partial y}=0 $$

где $a$ - заданная постоянная. Т.е. имеют ли эти уравнения общие решения?

[ИСН]

Ну а если вычесть одно уравнение из другого, то что?

[VladTK]

То мы получаем $F=\operatorname{const}$, что меня не устраивает, но все равно спасибо.

[AlexValk]

VladTK в сообщении #585786 писал(а):

То мы получаем $F=\operatorname{const}$, что меня не устраивает, но все равно спасибо.

А разве функция $F=x^2$ не удовлетворяет уравнению $\frac{\partial F}{\partial y}=0$?
Вот если Вы это про решение всей своей системы говорите, то тогда другое дело... Действительно, исключая случай $a=0$, у Вашей системы других решений кроме $F=\operatorname{const}$ нет.