Математическая статистика. Найти оценку параметра.

[Hellixoid]

Здравствуйте. Помогите разобраться с задачкой:

По неоднородной выборке $x_1, ... , x_n$, где $x_k$, $k = 1, ... , n$, независимы, $Mx_k = a$, $Dx_k = \sigma_k ^2$ ($\sigma _k ^2$ известны), найти несмещенную линейную относительно $x_k$ оценку $\hat{a}$ параметра $a$, которая имеет наименьшую возможную дисперсию.,

С несмещенностью все понятно - нужно чтобы сумма коэффициентов в линейной комбинации была равна единице.
Проблема заключается в нахождении эффективной оценки. Соответственно вопрос: можно ли в данном случае использовать неравенство Рао-Крамера? Если нет, то каким методом необходимо воспользоваться?

[мат-ламер]

Попробуйте явно выписать оценку и её дисперсию. Дальше искать её (дисперсии) минимум элементарными методами.

[Hellixoid]

Условие несмещенности:
$\sum{c_i} =1 $
Оценка равна:
$\hat{a} = c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n$
Дисперсия оценки:
$D(\hat{a}) = c_1^2\sigma_1^2+c_2^2\sigma_2^2+...+c_n^2\sigma_n^2$

Как идти дальше я так и не понял... Искать минимум через производные невозможно, т.к. получим, что все $c_i$ равны нулю.

[PAV]

Hellixoid в сообщении #585152 писал(а):

Искать минимум через производные невозможно, т.к. получим, что все $c_i$ равны нулю.

Все нулю не подойдут по условию нормировки. Это минимизация с ограничением

-- Пт июн 15, 2012 00:19:21 --

Попробуйте сначала рассмотреть случай $n=2$, чтобы почувствовать задачу.

[Hellixoid]

Получается, что если $\sigma _1=\sigma _2$, нам без разницы какие коэффициенты брать и мы простом берём их равными $\frac{1}{n}$.
Если же они не равны, например, $\sigma _1>\sigma _2$, то у $\sigma _1$ ставим бесконечно малый коэффициент $c_1$, а у второго $c_2=1-c_1$

[Hellixoid]

Что-то я ошибся с бесконечно малым коэффициентом. $\frac{1}{n}$ получается более эффективным.

Так же нашёл такой вариант коэффициентов: $c_i=\frac{\sigma ^2_i}{\sum_1^n \sigma^2_j}$, но никак не могу вывести его из имеющихся уравнений.

[PAV]

Либо используйте Метод множителей Лагранжа, либо выразите один из коэффициентов через остальные и подставьте в функцию, после чего минимизируйте обычным методом без ограничений, через частные производные.

[Александрович]

PAV в сообщении #585156 писал(а):

Попробуйте сначала рассмотреть случай $n=2$, чтобы почувствовать задачу.

$x= (\frac{1/D_1}{1/D_1+1/D_2})x_1+(\frac{1/D_2}{1/D_1+1/D_2})x_2.$

[Евгений Машеров]

Лагранжем его, Лагранжем! И сразу видим, что оптимальные веса обратно пропорциональны дисперсиям. См. "уравнивание неравноточных измерений" из курсов геодезии.

[Александрович]

Надо же! А я и не знал, что это называется таким красивым именем.

[Hellixoid]

Решил Лагранжем. Коэффициенты получились $c_i=\frac{1}{D_i(\sum_{j=1}^n{\frac{1}{D_j}})}$ (как и у Александровича).
Всем спасибо за помощь в решении.