Произведение в виде разности квадратов (по мотивам ТурГора)

[Ktina]

(по мотивам Турнира Городов)

а) На доске написано 2012 натуральных чисел, превышающих единичку. Всегда ли можно стереть ровно одно из этих чисел так, чтобы произведение оставшихся представлялось в виде разности двух квадратов натуральных чисел?

б) На доске написано 2012 натуральных чисел, превышающих единичку. Одно из этих чисел равно 2010.
Оказалось, что есть только одно такое число среди написанных, что произведение оставшихся представимо в виде разности двух квадратов натуральных чисел. Обязательно ли это число равно 2010?

[temp03]

Ktina в сообщении #583651 писал(а):

а) На доске написано 2012 натуральных чисел, превышающих единичку. Всегда ли можно стереть ровно одно из этих чисел так, чтобы произведение оставшихся представлялось в виде разности двух квадратов натуральных чисел?

а) $2011$ троек и одна двойка. Стираем тройку, получаем $2\cdot3^{2010}\neq a^2-b^2$

б) идея такая же, впадлу лень мозги выкручивать, слишком замороченное условие

Замечание за ненормативную лексику
/Toucan

[Shadow]

да,
да

[Ktina]

temp03 в сообщении #583662 писал(а):

Ktina в сообщении #583651 писал(а):

а) На доске написано 2012 натуральных чисел, превышающих единичку. Всегда ли можно стереть ровно одно из этих чисел так, чтобы произведение оставшихся представлялось в виде разности двух квадратов натуральных чисел?

а) $2011$ троек и одна двойка. Стираем тройку, получаем $2\cdot3^{2010}\neq a^2-b^2$

Но если стереть не тройку, а двойку, разность квадратов можно получить. Таким образом, Ваш пример не является контрпримером.

[temp03]

Ktina в сообщении #583752 писал(а):

Но если стереть не тройку, а двойку, разность квадратов можно получить. Таким образом, Ваш пример не является контрпримером.

Ну если какое-то только одно стереть из всех, то да. Условие замороченное! Надо как-то проще изъясняться. Т.е. вопрос "всегда ли можно стереть"? я и подумал, что не всегда, т.к. если стереть тройку, то нельзя.

[Tanechka]

а) Да.
б) Да.

При решении используем то, что если число непредставимо в виде разности двух квадратов, то двойка в его разложение входит только один раз.

[Ktina]

Tanechka в сообщении #583806 писал(а):

а) Да.
б) Да.

При решении используем то, что если число непредставимо в виде разности двух квадратов, то двойка в его разложение входит только один раз.

То есть, число 4, по-Вашему, представимо?

[Tanechka]

Ktina в сообщении #584095 писал(а):

То есть, число 4, по-Вашему, представимо?

Это недоразумение исключение, ровно как и число 1. Но это не повлияет на ответ, т. к. минимальное произведение, которое может быть - это $2^{2011}$...

[Tanechka]

Дорогая Ktina, может скажете, верно ли я решила эту задачу, а то вы как-то угрожающе молчите)

[Ktina]

Tanechka в сообщении #585304 писал(а):

Дорогая Ktina, может скажете, верно ли я решила эту задачу, а то вы как-то угрожающе молчите)

Конечно, верно.