Странная стационарная точка.

[number_one]

$z=e^{x^3+y^3-3xy}$

Необходимые условия экстремума

$(3x^2-3y)e^{x^3+y^3-3xy}=0$ и $(3y^2-3x)e^{x^3+y^3-3xy}=0$

Откуда получаем две точки $M_1(0;0)$ и $M_2(1,1)$

Вторые частные производные в точке $M_1(0;0)$ также равны нулю.

Что-то мне подсказывает, что и третьи -- тоже.

Как узнать - есть ли в этой точке экстремум и почему?

[Shtorm]

А Вы хорошо посчитали?

$z''_{xy}=-3e^{x^3+y^3-3xy}+(3x^2-3y)e^{x^3+y^3-3xy}(3y^2-3x)$

Если подставим (0;0), то получим -3.

[number_one]

Shtorm в сообщении #583253 писал(а):

А Вы хорошо посчитали?

$z''_{xy}=-3e^{x^3+y^3-3xy}+(3x^2-3y)e^{x^3+y^3-3xy}(3y^2-3x)$

Если подставим (0;0), то получим -3.

Спасибо, теперь стало понятно, значит экстремума в $(0,0)$ нет)

[мат-ламер]

Экспоненту, ввиду её монотонности, можно сразу выкинуть из формул.