Статическая модуляционная характеристика АМ

[Kadeirn]

Я, в общем то, не самый плохой из отстающих в группе, но всё же. Лежал в больнице, когда объясняли преобразования эти все... Помогите разобраться пожалуйста...

Задание: Получить выражение для СМХ, построить график.
Хотя бы амплитуду первой гармоники нормально выделить бы...
${U_{1}} = E + {U_m} \cdot \cos {\omega _0}t$
$i = 0,5 + 2U + 0,8{U^2} + 0,2{U^3}$
Подставляем напряжение в ток вместо U, получаем:
$i = 0,5 + 2(E + Um\cos {\omega _0}t) + 0,8{(E + Um\cos {\omega _0}t)^2} + 0,2{(E + Um\cos {\omega _0}t)^3}$
$i = 0,5 + 2E + 2Um\cos {\omega _0}t + 0,8{E^2} + 1,6EUm\cos {\omega _0}t + 0,8{\left( {Um\cos {\omega _0}t} \right)^2} + 0,2{E^3} + 0,6{E^2}Um\cos {\omega _0}t + 0,6E{\left( {Um\cos {\omega _0}t} \right)^2} + {\left( {Um\cos {\omega _0}t} \right)^3}$
$i = 2Um\cos {\omega _0}t + 1,6EUm\cos {\omega _0}t + 0,6{E^2}Um\cos {\omega _0}t + {\left( {Um\cos {\omega _0}t} \right)^3}$
Дальше я уже не знаю, что делать. Взял у подруги пример, она на этом явно не остановилась. У неё написано какое-то преобразование:
$0,2{(Um\cos {\omega _0}t)^3} = \frac{1}{4}3\cos x + \cos 3x = 0,15U_m^3$
Откуда эти косинусы? Может какая-нибудь формула есть?
${I_{1m}} = 2Um + 1,6EUm + 0,6{E^2}Um + 0,15U_m^3$
Кажется, здесь просто косинусы убрали, и всё. А на каком основании? В чём смысл то этого? Нельзя же просто так взять и убрать из уравнения его часть...

[profrotter]

1. Открываем учебник и переписываем оттуда определение: что называется статической модуляционной характеристикой?

Kadeirn в сообщении #582112 писал(а):

Откуда эти косинусы?

2. Вспоминаем школьную тригонометрию $\cos^3(x)=...$. Если не получается вспомнить, то открываем справочник по математике, например, Бронштейн и Семендяев и смотрим там в разделе тригонометрия. Если не получается открыть справочник, то вспоминаем тригонометрическую формулу для $\cos^2(x)=...$, затем находим $\cos^3(x)=\cos(x)\cos^2(x)=...$

[Kadeirn]

profrotter в сообщении #582158 писал(а):

1. Открываем учебник и переписываем оттуда определение: что называется статической модуляционной характеристикой?

Зависимость амплитуды первой гармоники тока от напряжения смещения. Может в учебнике конечно не так, но я лабораторную так защитил. Преподаватель у нас умный. Знает много... соответственно и много спрашивает. У меня нет оснований в его подготовленности сомневаться...

Я понимаю, что стыдно в универе не знать формул понижения степени, но всё же я не придурок последний) Знаю где искать) Спасибо за совет)

Подскажите пожалуйста, где ошибка?
$0,2{\left( {{U_m}\cos {\omega _0}t} \right)^3} = 0,2\left( {U_m^3\frac{{3\cos {\omega _0}t + \cos 3{\omega _0}t}}{4}} \right) = 0,2\left( {\frac{{3U_m^3\cos {\omega _0}t + U_m^3\cos 3{\omega _0}t}}{4}} \right)$
Дальше скобки раскрываются:
$\frac{{0,6U_m^3\cos {\omega _0}t}}{4} + \frac{{0,2U_m^3\cos 3{\omega _0}t}}{4} = 0,15U_m^3\cos {\omega _0}t + 0,05U_m^3\cos {\omega _0}t$
Теперь, как я понимаю, просто косинусы отбрасываются, и всё? Вот хоть стреляйте в меня, не помню на лекциях такого. Было время, как я отравился чем то и сидел 2 недели на уколах. Вот наверняка в это время и проходили...
Тут вроде бы тогда всё хорошо и понятно. Но откуда взялась составляющая $0,05U_m^3\cos {\omega _0}t$? Точнее я знаю, откуда она взялась. Я не знаю, что с ней делать... У подруги моей в примере её не было. Кто из нас ошибся?

[profrotter]

Подруги пусть сами разбираются в своих ошибках или не ошибках, а Вам предлагаю, не прогоняя, впрочем, приятной мысли о подруге, вернуться сюда:

Kadeirn в сообщении #582112 писал(а):

Подставляем напряжение в ток вместо U, получаем:
$i = 0,5 + 2(E + Um\cos {\omega _0}t) + 0,8{(E + Um\cos {\omega _0}t)^2} + 0,2{(E + Um\cos {\omega _0}t)^3}$
$=0,5 + 2E + 2Um\cos {\omega _0}t + 0,8{E^2} + 1,6EUm\cos {\omega _0}t + 0,8{\left( {Um\cos {\omega _0}t} \right)^2} + 0,2{E^3} + 0,6{E^2}Um\cos {\omega _0}t + 0,6E{\left( {Um\cos {\omega _0}t} \right)^2} + {\left( {Um\cos {\omega _0}t} \right)^3}$

Расписать $\cos^2(\omega _0t)$ и $\cos^3(\omega _0t)$ и всё выражение привести к виду:

$$i=I_0+I_1\cos(\omega _0t)+I_2\cos(2\omega _0t)+I_3\cos(3\omega _0t)$$

Искомая СМХ это $I_1=I_1(E)$.

[Kadeirn]

Сгруппировал, получилось выражение:
$2{U_m}\cos {\omega _0}t + 1,6E{U_m}\cos {\omega _0}t + 0,6{E^2}{U_m}\cos {\omega _0}t + 0,75U_m^3\cos {\omega _0}t$
и куча всякого мусора, который, видимо резонансным контуром и отбрасывается. Это выражение нужно как-то преобразовывать кроме отбрасывания косинусов? Мало ли, я первый раз подобное задание делаю... вдруг за скобку вынести нужно к примеру E или Um...

И насчёт последнего числа у меня какие-то сомнения. Вроде у всех 0,15, а у меня 0,75. Понятно, что на других смотреть не стоит, но всё же...

[profrotter]

Kadeirn в сообщении #582426 писал(а):

Сгруппировал, получилось выражение:
$2{U_m}\cos {\omega _0}t + 1,6E{U_m}\cos {\omega _0}t + 0,6{E^2}{U_m}\cos {\omega _0}t + 0,75U_m^3\cos {\omega _0}t$
Это выражение нужно как-то преобразовывать кроме отбрасывания косинусов?

$$2{U_m}\cos {\omega _0}t + 1,6E{U_m}\cos {\omega _0}t + 0,6{E^2}{U_m}\cos {\omega _0}t + 0,75U_m^3\cos {\omega _0}t=$$

$$=(2{U_m} + 1,6E{U_m}+ 0,6{E^2}{U_m} + 0,75U_m^3)\cos {\omega _0}t$$

Только косинус Вы не отбрасываете, а выписываете амплитуду первой гармоники, то есть амплитуду колебания частоты воздействия $\omega_0$, и она тут равна:

$$I_1(E)=2{U_m} + 1,6E{U_m}+ 0,6{E^2}{U_m} + 0,75U_m^3$$

(Правильность выкладок и чисел я не проверял, если что.)

Kadeirn в сообщении #582426 писал(а):

И насчёт последнего числа у меня какие-то сомнения. Вроде у всех 0,15, а у меня 0,75. Понятно, что на других смотреть не стоит, но всё же...

Я бы рекомендовал не торопиться с числами, а изначально задать выражение для аппроксимирующего многочлена в виде

$$i(U)=a_0+a_1U+a_2U^2+a_3U^3$$

Повторить проделанные выкладки в общем виде, после чего в полученный результат подставлять коэффициенты $a_0,a_1,a_2,a_3$. При таком подходе Вы сможете проверить и себя и других.