Теорема Фишера. Многомерный случай.

[loldop]

Добрый вечер!
Пусть сл.в. $\xi \sim N(\mu, \sigma^2)$.
Пусть $x_1,x_2,..., x_N$ - выборка ее реализации.
$\overline{x} = \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N}x_i$
$a = \sum\limits_{i=1}^{N}(x_i - \overline{x})^2$
Тогда
а) $\overline{x} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{N})$
б) $\frac{a}{\sigma^2} \sim \chi^2_{N-1} $
в) $\overline{x}\;,\; a$ - стат. независимы.

Многомерный случай:
Для $N \ge p+1$

Пусть сл.в. $\vec{\xi} \sim N_p(\vec{\mu}, \Sigma)$.
Пусть $\vec{x}_1,\vec{x}_2,..., \vec{x}_N$ - выборка ее реализации, $x_i \in \mathbb{R}^p$.
$\overline{X} = \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N}\vec{x}_i$
$A = \sum\limits_{i=1}^{N}(\vec{x}_i - \overline{X})^2$
Тогда
а) $\overline{X} \sim N_p(\vec{\mu}, \frac{1}{N}\Sigma)$
б) $ A \sim W_p(N-1,\Sigma)$
в) $\overline{X}\; ,\; A$ - стат. независимы.

Вопрос: правильна ли формулировка для многомерного случая и где можно найти эти теоремы?
Спасибо!

[--mS--]

loldop в сообщении #582046 писал(а):

$\overline{X} = \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N}\vec{x}_i$
$A = \sum\limits_{i=1}^{N}(\vec{x}_i - \overline{X})^2$
Тогда
а) $\overline{X} \sim N_p(\vec{\mu}, \frac{1}{N}\Sigma)$
б) $ A \sim W_p(N-1,\Sigma)$
в) $\overline{X}\; ,\; A$ - стат. независимы.

Ну, если понимать "квадрат вектора" как произведение вектора на себя транспонированного, и заменить $n-1$ в распределении Уишарта на $n$, то все пункты верны.

См. теорему 3.3.2 у Андерсона во "Введении в многомерный стат. анализ". Правда, есть ли там про Уишарта, не знаю, а про независимость точно есть.