неограниченный функционал

[Oleg Zubelevich]

Задача несложная: Доказать, что во всяком бесконечномерном локально выпуклом пространстве найдется неограниченный линейный функционал

[Padawan]

Это неверно. Возьмем строгий индуктивный предел возрастающей последовательности пространств $\mathbb R^n$. Ограничение линейного функционала $f$ на любое $\mathbb R^n$ непрерывно. По свойствам индуктивного предела тогда непрерывен и сам $f$.

[Oleg Zubelevich]

Да, я там прочитал уже.

[Padawan]

Можно подумать, в каком наиболее широком классе ТВП это верно.

[Oleg Zubelevich]

Вот интересно, верно ли, что все линейные функционалы в локально выпуклом пространстве непрерывны тогда и только тогда, когда это пространство является индуктивным своих конечномерных подпрострнанств? Тут что-то про отделимость еще надо оговорить вроде бы

[Padawan]

Padawan в сообщении #581087 писал(а):

Можно подумать, в каком наиболее широком классе ТВП это верно.

Может в борнологических?

[g______d]

Padawan в сообщении #581080 писал(а):

Это неверно. Возьмем строгий индуктивный предел возрастающей последовательности пространств $\mathbb R^n$.

Он является ЛВП?

[Padawan]

g______d
Да, является. По определению индуктивной топологии. Это сильнейшая локально выпуклая топология такая, что...

[g______d]

Padawan в сообщении #581978 писал(а):

g______d
Да, является. По определению индуктивной топологии. Это сильнейшая локально выпуклая топология такая, что...

Да, про $\mathbb R^{\infty}$ согласен. А вообще в категории локально выпуклых пространств всегда существуют индуктивные пределы?

[Padawan]

Да, там даже система окрестностей как-то "конструктивно" описывается.

[Oleg Zubelevich]

тривиальное наблюдение: в лвп имеется ограниченное бесконечномерное множество iff найдется и неограниченный линейный функционал