Условный экстремум

[silas]

Исследовать функцию на условный экстремум методом исключения части переменных
(Найти станционарные точки и определить их тип):

$\[f(x,y) = x - y\]$

$\[{y^3} + 3{x^2}y = {x^3} + 1\]$

Если выразить y и подставить в функцию , то переменных меньше не станет. Что тогда делать? Составляь систему из 2-х частных производных?

[muzeum]

Из уравненя связи (условия) выразить явно переменную весьма проблематично.
Может быть, рассматривая это уравнение как задание неявно функции, найти производную у по х?

[silas]

И что это даст?

[bot]

silas в сообщении #578161 писал(а):

И что это даст?

Облегчение.

[muzeum]

Цитата:

И что это даст?

Это даст возможность исследовать зависимость у от х и z=x-y(x) с помощью производных.
Для начала определяем, в каких точках уравнение связи определяет у как функцию от х? Так как при фиксированном х функция $\[F(x,y)={y^3} + 3{x^2}y = {x^3} + 1\]$ строго монотонна, то всюду. Таким образом, решаем задачу нахождения экстремумов функции одной переменной z = z(x) без ограничений. Требуется найти критические точки и исследовать значения в $\pm\infty$.

[muzeum]

muzeum в сообщении #578313 писал(а):

Это даст возможность исследовать зависимость у от х и z=x-y(x) с помощью производных.
Для начала определяем, в каких точках уравнение связи определяет у как функцию от х? Так как при фиксированном х функция $\[F(x,y)={y^3} + 3{x^2}y = {x^3} + 1\]$ строго монотонна, то всюду. Таким образом, решаем задачу нахождения экстремумов функции одной переменной z = z(x) без ограничений. Требуется найти критические точки и исследовать значения в $\pm\infty$.

Не понял, как отредактировать сообщение, поэтому поясняю в новом посте: Монотонна по у функция $\[F(x,y)={y^3} + 3{x^2}y - {x^3} - 1\]$