Аксиомы Колмогорова, корреляция

[samuil]

1) В каких пределах может изменяться значение коэффициента корреляции? Докажите это.

Знаю, что $|\rho(X,Y)|\leqslant 1$

А как доказать это?

2) Напишите определение условной вероятности и проверьте, что для нее выполняются все аксиомы Колмогорова

Определение условной вероятности:

$P(A|B)=\frac{P(A\cdot B)}{P(B)}$

А как именно проверять аксиомы?

а) Вероятность случайного события неотрицательна. Ну это же понятно, что она не может быть отрицательной, ведь это вероятность. Также не может быть больше 1, так как это вероятность... Я что-то не так понимаю?

[--mS--]

samuil в сообщении #577528 писал(а):

Знаю, что $|\rho(X,Y)|\leqslant 1$

А как доказать это?

См. в любом учебнике.

samuil в сообщении #577528 писал(а):

2) Напишите определение условной вероятности и проверьте, что для нее выполняются все аксиомы Колмогорова

Определение условной вероятности:

$P(A|B)=\frac{P(A\cdot B)}{P(B)}$

А как именно проверять аксиомы?

а) Вероятность случайного события неотрицательна. Ну это же понятно, что она не может быть отрицательной, ведь это вероятность. Также не может быть больше 1, так как это вероятность... Я что-то не так понимаю?

Да, Вы что-то не так понимаете. Нет пока никакой "ведь это вероятность". Требуется показать, что объект из правой части определения устраивает аксиомам. Только после этого Вы будете иметь право назвать его вероятностью. Кстати, о каких вообще аксиомах (и для какого объекта) речь?

[samuil]

1) Допустим мы хотим показать, что "объект в левой части" $0\leqslant \frac{P(A\cdot B)}{P(B)}\leqslant 1$ лежит в пределах от 0 до 1.

Нужно ли подразумевать, что $0\leqslant {P(A\cdot B)}\leqslant 1$?

Если да, то $P(A\cdot B)\leqslant {P(B)}$, а значит

$$\frac{P(A\cdot B)}{P(B)}\leqslant 1$$

Так как

$$P(B)>0$$

и $P(A\cdot B)\geqslant 0$, то

$$\frac{P(A\cdot B)}{P(B)}\geqslant 0$$

Значит $0\leqslant {P(A\cdot B)}\leqslant 1$. Правильно?

2)

Докажем $P(A|B)=1$, если

$$A=\Omega$$

$$P(A\cdot B)=P(\Omega \cdot B)=P(B)$$

$$P(A|B)=\frac{P(A|B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1$$

Верно ли это?

[--mS--]

samuil в сообщении #577764 писал(а):

[c]Нужно ли подразумевать, что $0\leqslant {P(A\cdot B)}\leqslant 1$?

Если да, то $P(A\cdot B)\leqslant {P(B)}$, а значит

$$\frac{P(A\cdot B)}{P(B)}\leqslant 1$$

Во-первых, буквой $P$ обозначена у Вас вероятность, для которой выполнено всё, что полагается. В том числе и $0\leqslant \mathsf P(C)\leqslant 1$. А во-вторых, не вижу связи. Поскольку $AB \subseteq B$ всегда, то вероятность левой части всегда не больше правой, и это верно не только для вероятности, но для любой неотрицательной меры со сколь угодно большими значениями.

В целом - верно. Это все аксиомы?

[samuil]

--mS-- в сообщении #577777 писал(а):

В целом - верно. Это все аксиомы?

Нет, не все, но с остальными - понятно...Спасибо

А про доказательство того факта, что $|\rho_{XY}|\leqslant 1$ не удалось найти в книжки "Кремера", не удалось найти в книжке "Черновой". А где еще можно посмотреть?

[--mS--]

samuil в сообщении #578096 писал(а):

А про доказательство того факта, что $|\rho_{XY}|\leqslant 1$ не удалось найти ... в книжке "Черновой".

Ещё чуть-чуть, и я даже этому поверю...

[samuil]

--mS-- в сообщении #578132 писал(а):

samuil в сообщении #578096 писал(а):

А про доказательство того факта, что $|\rho_{XY}|\leqslant 1$ не удалось найти ... в книжке "Черновой".

Ещё чуть-чуть, и я даже этому поверю...

Я просто смотрел "конспект лекций", там не нашел. Теперь скачал книжку и нашел. Спасибо) Там понятно написано.

(Оффтоп)

(А это случайно не вы Н.И. Чернова? P.S. Если вопрос показался нетактичным, то можно не отвечать, просто тогда ситуация - совсем забавная)