Интеграл от e^(-x^2) cos(x)

[cyb12]

Есть интеграл $\int\limits_0^\infty e^{-x^2}\cos x \, dx.$ Нужно его посчитать.
Есть некоторые попытки уйти в комплексную плоскость, предварительно рассмотреть интеграл по всей прямой и т.д. Но все не приводит к успеху. Как быть?

[мат-ламер]

В интегралах я не спец, но мне этот интеграл чем-то наминает преобразование Фурье для нормального распределения. И как это преобразование искать - есть в учебниках - например, в Колмогорове-Фомине. Но может я всё усложняю. Подождём пока специалисты подойдут.

[nnosipov]

cyb12 в сообщении #576273 писал(а):

Есть интеграл $\int\limits_0^\infty e^{-x^2}\cos x \, dx.$

Можно рассмотреть интеграл $J(a)=\int\limits_0^\infty e^{-x^2}\cos ax \, dx$, где $a \geqslant 0$. Найдите $J'(a)$ и выразите через $J(a)$. (Это --- на тот случай, когда с ТФКП не хочется связываться.)

[cyb12]

Я не против связаться с ТФКП, но как-то не выходит.
Имеем интеграл $\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-\tfrac14 - \tfrac14(x-i/2)^2}dx$ по вещественной оси. Сделав замену, уходим на прямую ниже оси, параллельную ей. Только вот по ней интеграл непонятно как считать. Кажется, что он равен тому же по вещественной оси, но доказать не получается (и даже через замкнутый контур).
2nnosipov: а почему можно дифференцировать?

[nnosipov]

cyb12 в сообщении #576304 писал(а):

2nnosipov: а почему можно дифференцировать?

Есть теоремы о дифференцировании под знаком интеграла, посмотрите в учебнике.

[cyb12]

Ок, тогда

$$ J'(a)=-\int\limits_{0}^{\infty}xe^{-x^2}\sin(ax)\,dx $$

И как же его выразить?

[--mS--]

По частям не пробовали?

[ewert]

cyb12 в сообщении #576304 писал(а):

Я не против связаться с ТФКП,

Если не против, то проще всего именно с ней и связаться. Распространите интеграл по чётности на всю ось и представьте его как вещественную часть интеграла от соотв. экспоненты с комплексным показателем. Дело сведётся к тому же интегралу типа Пуассона, но не по вещественной оси, а по параллельной ей прямой в комплексной плоскости. И останется лишь доказать, что от параллельного сдвига линии интегрирования результат в данном случае не изменится; это достаточно стандартно следует из теоремы Коши.

[cyb12]

все, спасибо, решилось, как раз по частям.

Да, до параллельной прямой дошло дело, но если рассматривать замкнутый контур (содержащий отрезки этих двух прямых), то интеграл по двум другим отрезкам прямоугольника не очевиден.... Достаточно стандартно в этом случае не получается.

[ewert]

cyb12 в сообщении #576347 писал(а):

если рассматривать замкнутый контур (содержащий отрезки этих двух прямых), то интеграл по двум другим отрезкам прямоугольника не очевиден....

Очевиден-очевиден: длины этих отрезков фиксированы, а максимум модуля подынтегральной функции по ним тривиально и даже экспоненциально стремится к нулю при раздвигании этих отрезков.

[--mS--]

cyb12 в сообщении #576347 писал(а):

Да, до параллельной прямой дошло дело, но если рассматривать замкнутый контур (содержащий отрезки этих двух прямых), то интеграл по двум другим отрезкам прямоугольника не очевиден.... Достаточно стандартно в этом случае не получается.

В смысле "не очевиден"? Там экспонента стоит безумно быстро убывающая с расширением прямоугольника.