определение аналитической функции

[tavrik]

в книгах или например википедии как правило дано определение "через": ряды Тейлора/пару вещественных функций выполняющих условия Коши-Римана/и интегральное.

на курсе комплексного анализа у нас дано определение через производную, которого на википедии нет.
т.е. функция называется аналитической в области R когда она имеет производную в каждой точке этой области.

мне определение через производную видится наиболее понятным - эквивалентно предыдущим трем?

какое из определений чаще используется
вообще, проверяется ли аналитичность функции как таковая и если да то каким из способов чаще всего - интегральным? например задача: дана функция - найдите область аналитичности или докажите что она там нет или да и тп.

[SpBTimes]

Всё эквивалентно. Ведь если функция аналтична раз, то и все остальные разы тоже, а это и есть Тейлор и т.д.
А аналитичность чаще всего всё-таки Коши-Риманом проверяется, как-никак необх. и дост. условие.

[samson4747]

Всё правильно, хочется просто отметить такой момент что функция аналитическая в точке, будет означать тот факт что она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.

[Kallikanzarid]

Более правильно: комплексная функция называется аналитичной на открытом множестве, если в каждой точке этого множества она имеет производную, и эта производная комплексна, т.е. имеет блоковый вид $\begin{pmatrix}A & B \\ -B & A\end{pmatrix}$. Но вообще самое общее определение - через ряды Тейлора, его можно обобщить на любое поле, полное относительно некоторого нетривиального абсолютного значения.

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #576008 писал(а):

Более правильно: комплексная функция называется аналитичной на открытом множестве, если в каждой точке этого множества она имеет производную, и эта производная комплексна,

Ещё правильнее (и, кстати, общеупотребительно): "если она имеет производную по комплексной переменной".

(слова о том, что "производная комплексна" -- довольно бессмысленны)

[Kallikanzarid]

ewert
Точнее, в определении написано, что "$\varphi$ - класса $C^1$ и ее производная $D\varphi$ - комплексное линейное отображение". О том, что это бессмысленно, расскажите Серру

[mihailm]

tavrik в сообщении #536251 писал(а):

...
какое из определений чаще используется...

Математик держит в голове сразу все определения
А использует то, которое в данной ситуации удобнее
(для дальнейших выкладок или понимания аудитории),
например определение
Kallikanzarid'а в среде инженеров лучше не использовать)

tavrik в сообщении #536251 писал(а):

...
вообще, проверяется ли аналитичность функции как таковая и если да то каким из способов чаще всего - интегральным? например задача: дана функция - найдите область аналитичности или докажите что она там нет или да и тп.

Да обычно никак не проверяется, она (аналитичность) задается

[Kallikanzarid]

mihailm в сообщении #576488 писал(а):

Да обычно никак не проверяется, она (аналитичность) задается

?