Бесконечное произведение равно нулю

[reinal]

Доброго времени суток!

Помогите, пожалуйста, доказать:

$\forall 0<\varepsilon<1 $ $ \Pi_{i=1}^{\infty} (1-\varepsilon$/i)=0$

[gris]

Прологарифмируйте и проанализируйте ряд.

[ewert]

Кстати: а зачем эпсилон меньше единицы?...

[gris]

Чтобы не нарываться на тривиальные случаи, когда оно равно 2012, например.

[reinal]

gris, спасибо, вопрос решен.

[ewert]

gris в сообщении #575028 писал(а):

Чтобы не нарываться на тривиальные случаи, когда оно равно 2012, например.

А что, в тривиальном случае другой ответ будет?...

[gris]

Нет, но решающий может подумать, что эпсилон может быть большим, что и в остальных случаях надо решать поиском нуля среди сомножителей, что бывает чистый ноль, а бывает ноль в пределе, да и вообще впасть в беспокойство. Я, конечно, не имею в виду ТС, а вообще. Зачем это нужно?
И, кроме того, он может задуматься, а не может ли быть эпсилон отрицательным?
Всё-таки эпсилон это сколь угодно малое положительное число. Зачем порождать сомнения?

[ewert]

gris в сообщении #575050 писал(а):

кроме того, он может задуматься, а не может ли быть эпсилон отрицательным?

Так ведь и небесполезно призадуматься.

[gris]

Наверное, это чтобы студент мог блеснуть на зачёте. (или правильно — блистануть?)