Предел функции нескольких пременных

[Shem]

Можно ли рассматривать функцию(к примеру, трех переменных) по разным направлениям и, если получается, что по этим направлениям предел разный, делать вывод, что предела не существует?

К примеру $\lim_{x\to 0}_{,y\to 0}_{,z\to 0} \frac {\ xyz}{\ x^2+y^2+z^2}$

1) Рассматриваем по направлению $x=y=z$, получаем $\lim_{x\to 0} \frac {\ x^3}{\ 3x^2} = 0$

2) По направлению $x=y=\sqrt{z}$, получаем $\lim_{x\to 0} \frac {\ x^4}{\ x^2+x^2+x^4} = 1$

По теореме об единственности предела получаем, что предел не существует.

[Xaositect]

Верно.

[Shem]

Xaositect в сообщении #573717 писал(а):

Верно.

Спасибо.

[shwedka]

Общее утверждение верно, но пример ошибочный,

Цитата:

2) По направлению $x=y=\sqrt{z}$, получаем $\lim_{x\to 0} \frac {\ x^4}{\ x^2+x^2+x^4} = 1$

Предел здесь равен нулю.

[Shem]

shwedka в сообщении #573762 писал(а):

Общее утверждение верно, но пример ошибочный,

Цитата:

2) По направлению $x=y=\sqrt{z}$, получаем $\lim_{x\to 0} \frac {\ x^4}{\ x^2+x^2+x^4} = 1$

Предел здесь равен нулю.

Понял, спасибо. Т.е., судя по всему, здесь предел как раз таки есть, т.к. степень в числителе больше, чем в знаменателе?

[nnosipov]

Shem в сообщении #573790 писал(а):

Т.е., судя по всему, здесь предел как раз таки есть, т.к. степень в числителе больше, чем в знаменателе?

Предел здесь существует, но обосновать это, просто заметив, что степень числителя больше, чем степень знаменателя, нельзя.

[shwedka]

nnosipov в сообщении #573820 писал(а):

Shem в сообщении #573790 писал(а):

Т.е., судя по всему, здесь предел как раз таки есть, т.к. степень в числителе больше, чем в знаменателе?

Предел здесь существует, но обосновать это, просто заметив, что степень числителя больше, чем степень знаменателя, нельзя.

Но вполне хватит неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

[nnosipov]

shwedka в сообщении #573825 писал(а):

Но вполне хватит неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

Даже для двух чисел.