О непрерывном отображении метрического пространства

[heyho]

Собственно, вопрос стоит следующим образом:
"Необходимо доказать, что если $f$- непрерывное отображение множества $E$ метрического пространства $X$ в метрическое пространство $Y$, $E_1\subset E$ плотно в $E$, то $f(E_1)$ плотно в $f(E)$."
Помогите, пожалуйста, разобраться. С чего начать? Нет ли соответствующей теоремы?
Заранее спасибо.

[Padawan]

Воспользуйтесь тем, что при непрерывном отображении $f\left(\overline A\right)\subset \overline {f(A)}$

[heyho]

А как это связать с плотностью множества?

[apriv]

Напрямую из определений несложно доказывается, и слово «метрическое» тут совершенно ни при чем.

[arseniiv]

При чём, если про топологические не рассказывали.

[heyho]

Да, все верно. Просто привел формулировку, какая есть у меня.
Как я понимаю, нужно исходить из свойств и определения непрерывного отображения?

[arseniiv]

То, что указал Padawan, и плотность.

[apriv]

heyho в сообщении #571084 писал(а):

Да, все верно. Просто привел формулировку, какая есть у меня.
Как я понимаю, нужно исходить из свойств и определения непрерывного отображения?

Из определения непрерывного отображения топологических пространств и плотности, да.

[Padawan]

heyho
$A$ плотно в $B$, если $\overline A\supset B$

[heyho]

То есть получаем что-то вроде :
Если $E_1\subset E $ плотно в $E$, то $\overline E_1\supset E$. При непрерывном отображении образ замыкания содержится в замыкании образа, то есть $f(\overline E_1)\subset \overline {(f(E_1))}$. Тогда $f(\overline E_1) \supset f(E)$.

Верно ли? Прошу прощения, если ересь.

[Padawan]

Последняя формула должна быть $\overline{f( E_1)}\supset f(E)$. А так все правильно.

[heyho]

Точно, ошибся. Спасибо. Только я запутался немного, последняя формула следует из предыдущей ввиду того, что замыкание множества содержит само множество? Или почему?

[Padawan]

К Вашему посту добавить мою последнюю формулу и все будет зашибись

[heyho]

Если $E_1\subset E $ плотно в $E$, то $\overline E_1\supset E$. При непрерывном отображении образ замыкания содержится в замыкании образа, то есть $f(\overline E_1)\subset \overline {(f(E_1))}$. Так как замыкание множества содержит само множество и $E_1\subset E $, то $\overline{f( E_1)} \supset f(E)$, что значит что $f(E_1)$ плотно в $f(E)$.

Так? И, да. Спасибо большое за помощь. Здорово, что вне зависимости от времени находятся люди, готовые помочь

[heyho]

Так, теперь такой вопрос. Можно ли к данному утверждению привести контрпример. То есть, скажем, такое непрерывное отображение, при котором это неверно?