Доказать, что p Ф1(t) + q Ф2(t) является характеристической

[Bars]

Пусть $(\varphi_k)$ - характеристические функции, $(a_k)$ - неотрицательные числа такие, что $\sum a_k = 1$. Доказать, что функция $\sum a_k \varphi_k$ также является характеристической.

Сначала думал, что $\sum a_k e^{i t \xi_k}$ можно представить в виде $e^{i t \eta}$. Но оказалось, это не так, (например $\left | \frac 1 2 e^0 + \frac 1 2 e^{\frac \pi 2} \right | \ne 1$).

Всячески пытался придумать случайную величину $\eta$ такую, что $\mathbb E e^{i t \eta} = \mathbb E \sum a_k e^{i t \xi_k}$ - ничего не получается.

...Вот .

[Taus]

Придумайте такую функция распределения, что характеристическая функция такого распределению будет суммой характеристических функций.

[--mS--]

(Оффтоп)

Прошу прощения у Taus, что влезаю - мне просто кажется, что ТС будет недостаточно совершенно правильного совета выше (если под суммой х.ф. понимать указанную "взвешенную" сумму). Всё же решать такие задачи на х.ф. следует уже после того, как распределения случайных величин изучены вдоль и поперёк, и опираясь на эти знания. Ну получит он функцию распределения - потом возникнет вопрос, а чья она, а на него ответа не найдётся.

Bars, найдите функцию распределения, а затем х.ф. случайной величины $\xi_\nu$, где $\nu$ принимает значения $1$ и $2$ с, например, равными вероятностями и не зависит от случайных величин $\xi_1$ и $\xi_2$, чьи функции распределения даны. Величина $\xi_\nu$ есть

$$\xi_\nu(\omega)=\begin{cases}\xi_1(\omega), & \textrm{ если } \nu(\omega)=1,\cr \xi_2(\omega), & \textrm{ если } \nu(\omega)=2.\end{cases}$$

[ewert]

--mS-- в сообщении #570227 писал(а):

Ну получит он функцию распределения - потом возникнет вопрос, а чья она,

А зачем он возникнет?...

[--mS--]

Наверное, чтобы за деревьями видеть лес? Да он и уже возник - см. последнюю строчку исходного сообщения ТС.

[ewert]

--mS-- в сообщении #570296 писал(а):

Да он и уже возник - см. последнюю строчку исходного сообщения ТС.

Да я видел -- он просто пошёл в ненужную сторону.

[--mS--]

Единственная ненужная сторона здесь - формальное представление данной х.ф. в виде интеграла по некой ф.р. А понимать природу вещей ненужным никогда не было.

[ewert]

--mS-- в сообщении #570425 писал(а):

Единственная ненужная сторона здесь - формальное представление данной х.ф. в виде интеграла по некой ф.р.

Это -- единственно нужная сторона. Функция имеет право называться характеристической тогда и только тогда, когда. Только это в исходном вопросе и содержалось; все же последующие домысливания -- не более чем бессмысленное (угадайте сами).

Ну или переформулируйте задачку так, чтоб переформулировка приобрела бы смысл. Только желательно без размахивания руками.

[Taus]

--mS-- в сообщении #570425 писал(а):

Единственная ненужная сторона здесь - формальное представление данной х.ф. в виде интеграла по некой ф.р. А понимать природу вещей ненужным никогда не было.

Если человек понимает и знает, как вычислить математическое ожидание $\xi$, то ему не составит труда вычислить математическое ожидание $e^{it\xi}$.

(Оффтоп)

Как бы прямо на вопрос не ответить

[--mS--]

ewert в сообщении #570450 писал(а):

Ну или переформулируйте задачку так, чтоб переформулировка приобрела бы смысл. Только желательно без размахивания руками.

Да без толку. Мы уже много раз с Вами обсуждали вопрос о смысле того или иного знания или умения. И всякий раз договориться не можем.
Любые задачи, связанные с изучением характеристик случайных блужданий, остановленных в случайный момент времени (моменты достижения уровня, любые иные моменты остановки) требуют знания того, как выглядит характеристическая функция случайной величины со случайным индексом, и наоборот - умения интерпретировать навороченную х.ф. с точки зрения таких случайных величин. Не знаю, где бы ещё разумным путём такие характеристические функции возникали. Поэтому, ещё раз повторю: формальное обоснование того, что это х.ф., бесполезно.

-- Пн май 14, 2012 05:19:10 --

Taus в сообщении #570505 писал(а):

Если человек понимает и знает, как вычислить математическое ожидание $\xi$, то ему не составит труда вычислить математическое ожидание $e^{it\xi}$.

Вы уверены, что поняли, о чём мы тут беседуем?