Теория вероятности, автобусы и иже с ними

[Sigurd]

Доброго времени суток,
есть такая задача:

"Вероятность того, что автобус прибудет на остановку своевременно, равна 0.90. Найти вероятность того, что из пяти автобусов на остановку своевременно прибудет по меньшей мере четыре автобуса."

Насколько я понимаю, здесь идёт речь о независимых событиях, т.е. появление одного из них никак не влияет на вероятность появления остальных. Таким образом мы можем использовать теорему умножения вероятностей.
По заданию нам необходимо найти вероятность появления одного из двух событий.
Событие А: четыре автобуса пришли вовремя и один опоздал.
Событие B: пять автобусов пришли вовремя.
Тогда...
$P(A) = p^4q = 0.9^4\cdot0.1 = 0.06561$
$P(B) = p^5 = 0.9^5 = 0.59049$
$P(A + B) = P(A) + P(B) = 0.6561$
Верно ли мыслю?

[Sender]

$p^4q$ - это если первые 4 пришли вовремя, а последний опоздал?
А если пришли вовремя все, кроме третьего, к примеру?

[Yu_K]

Для проверки посчитайте остальные варианты - когда 3,2,1,0 прибудут вовремя - полная группа событий - сумма вероятностей должна быть 1. И сами ответите на свой вопрос - верно ли мыслите?

[Sigurd]

Листал Гмурмана и наконец-то наткнулся на формулу Бернулли.
Тогда вероятность события, когда успевают все автобусы кроме одного будет выглядеть так:
$P_5(4) = C_{5}^{4}p^4q = \frac{5!}{4!\cdot1!} \cdot 0.9^4 \cdot 0.1 = 0.32805$
Вариант, когда все автобусы прибывают вовремя, похоже остаётся таким же. Тогда искомая вероятность события A, при котором вовремя приезжают не менее четырёх автобусов, будет равна:
$P(A) = 0.32805 + 0.59049 = 0.91854$
Пойдёт?

[Integrall]

Sigurd в сообщении #570098 писал(а):

Пойдёт?

Всё верно.

[Yu_K]

(Оффтоп)

$$(p+q)^5=1$$