2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Отделено от темы Интересное замечание или даже открытие
Сообщение05.05.2012, 01:28 
Отделено от темы http://dxdy.ru/topic55357.html.


Уважаемый Ранис, уважаемые гуру форума! Позвольте подбросить Вам еще одну задачку, касающуюся конуса, а именно: какая кривая получается при косом сечении конуса? Как известно, со времен Аполония Пергского (это, кажется, III в. до Р. Х.) косым сечением конуса принята кривая второго порядка - эллипс. Дальнейшие успехи в обосновании этой кривой (я подчеркиваю - при косом сечении) новыми геометрическими методами: проективным (Ж. Дезарг) и в особенности координатным (Р. Декарт, П. Ферма) неизменно подтверждали это решение. Но ранее этих великих математиков художник и график Альбрехт Дюрер сказал: косое сечение конуса - аерлиния (яйцеобразная), но не эллипс. И это совершенно очевидно, так как кривизна конической поверхности увеличивается от основания к вершине. Этот факт, тем не менее, первым не признал И. Кеплер, а за ним и все остальные математические авторитеты по сей день. В программе DX MAX косое сечение конуса проектируется (по всем правилам начерталки) как идеальный эллипс, но если внимательно посмотреть на саму последовательность проектирования, то она состоит из следующих шагов: сначала конус режется плоскостью, параллельной основанию (получается окружность), а затем этот круг поворачивается на тот угол, под которым наклонена к вершине конуса секущая плоскость. Так кто прав: Аполоний, Дезарг, Декарт и DX MAX или художник А. Дюрер?

 
 
 
 Re: Интересное замечание или даже открытие
Сообщение05.05.2012, 07:04 
VPopov в сообщении #567431 писал(а):
Но ранее этих великих математиков художник и график Альбрехт Дюрер сказал: косое сечение конуса - аерлиния (яйцеобразная), но не эллипс. И это совершенно очевидно, так как кривизна конической поверхности увеличивается от основания к вершине.

Это, пожалуй, покруче, чем $0.(9)$.

 
 
 
 Re: Интересное замечание или даже открытие
Сообщение05.05.2012, 10:08 
Аватара пользователя
 !  VPopov,

а Вы уверены, что участники предыдущего обсуждения закончили его?
И что они захотят переключиться на Вашу задачу?
И что попеременное обсуждение двух задач в одной теме --- это прекрасное композиционное решение?


-- 05 май 2012, 11:15 --

Сообщение VPopov (с признаками пурги) будет отделено.

 
 
 
 Re: Отделено от темы Интересное замечание или даже открытие
Сообщение05.05.2012, 11:09 
Аватара пользователя
VPopov в сообщении #567431 писал(а):
Так кто прав: Аполоний, Дезарг, Декарт и DX MAX или художник А. Дюрер?


Прав тот, кто предъявит аккуратное математическое доказательство.

 
 
 
 Re: Отделено от темы Интересное замечание или даже открытие
Сообщение05.05.2012, 13:01 
Аватара пользователя
VPopov в сообщении #567431 писал(а):
Так кто прав: Аполоний, Дезарг, Декарт и DX MAX или художник А. Дюрер?


как не странно правы и те и другие. Одни правы формально, другие персептивно. Альбрехт Дюрер впервые систематически изучал перспективу и признавал необходимость отклонений от точной перспективы в рисунке. Рисунок, нарисованный под линейку, кажется фальшивым. Такое восприятие точной перспективы идет в диссонанс с нашим виденьем окружающего мира и связано с несовершенством зрения. Параллельные линии в перспективе кажутся расходящимися, так что оспаривать постулаты Евклида?

 
 
 
 Re: Отделено от темы Интересное замечание или даже открытие
Сообщение05.05.2012, 14:17 
PAV в сообщении #567518 писал(а):
Прав тот, кто предъявит аккуратное математическое доказательство.

Во-первых не любое сечение прямого кругового конуса являются эллипсами. Есть ещё параболы и гиперболы.
Во-вторых в любой точке конической поверхности за исключением вершины есть есть континуум кривизн между нулём и кривизной сечения перпендикулярного к образующей в данной точке.
VPopov в сообщении #567431 писал(а):
И это совершенно очевидно, так как кривизна конической поверхности увеличивается от основания к вершине.

Хочется увидеть ваше определение "кривизны конической поверхности" и как сия кривизна связана с кривизной плоского сечения.
Integrall в сообщении #567567 писал(а):
Такое восприятие точной перспективы идет в диссонанс с нашим виденьем окружающего мира и связано с несовершенством зрения.


Скорее не столько с несовершенством, сколько с дискретностью. А от дискретности нам некуда деваться. :wink:
С уважением,

 
 
 
 Re: Отделено от темы Интересное замечание или даже открытие
Сообщение05.05.2012, 16:07 
Integrall в сообщении #567567 писал(а):
Альбрехт Дюрер впервые систематически изучал перспективу и признавал необходимость отклонений от точной перспективы в рисунке. Рисунок, нарисованный под линейку, кажется фальшивым. Такое восприятие точной перспективы идет в диссонанс с нашим виденьем окружающего мира и связано с несовершенством зрения. Параллельные линии в перспективе кажутся расходящимися, так что оспаривать постулаты Евклида?

Нет, оспаривать не надо, а надо четко договориться, что рассмотрение ведется в рамках геометрии Евклида, тогда о перспективах Дюрера говорить не надо.
Кстати перспективы бывают разные. У Вас параллельные прямые в перспективе расходятся, а у меня сходятся! :D

 
 
 
 Re: Отделено от темы Интересное замечание или даже открытие
Сообщение05.05.2012, 22:14 
vicvolf в сообщении #567637 писал(а):
Нет, оспаривать не надо, а надо четко договориться, что рассмотрение ведется в рамках геометрии Евклида, тогда о перспективах Дюрера говорить не надо.
Кстати перспективы бывают разные. У Вас параллельные прямые в перспективе расходятся, а у меня сходятся! :D

Так, подождите, почему Вы противопоставляете Евклидову геометрию и перспективу? Перспектива - это один из способов проекции пространства на плоскость (точнее, поверхность), который аксиом геометрии не отменяет: параллельные прямые не пересекаются, пересекаются их проекции.

 
 
 
 Re: Интересное замечание или даже открытие
Сообщение05.05.2012, 22:37 
hurtsy в сообщении #567603 писал(а):
Хочется увидеть ваше определение "кривизны конической поверхности" и как сия кривизна связана с кривизной плоского сечения.


Кривизна образующей цилиндра $1/R$, где R - радиус основания и величина эта постоянная, а кривизна образующей прямого кругового конуса, естественно, переменная и увеличивается от основания к вершине. В любом коническом сечении, т. е. в линии, которая получается сечением конуса плоскостью, не проходящей через его вершину, указанная переменная кривизна сохраняется. Именно поэтому, когда: 1) секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, то в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола 2) секущая плоскость параллельна высоте конуса, то в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - гипербола; 3) секущая плоскость пересекает все образующие конуса, то линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - аерлиния (яйцеобразная, по Дюреру). Эллипс же (или часть эллипса, если секущая пересекает не все образующие) получается при пересечении цилиндра, в который, допустим, вписан наш конус. Никакого здесь формального (по Гильберту) доказательства не то, что не требуется, а оно просто невозможно, потому что аксиоматика Евклида-Архимеда - содержательная. Ведь термин "аксиоматический" (и это подчеркивал сам Гильберт) употребляется в широком и узком смыслах. Аксиоматически (в широком смысле) построены геометрия Евклида, механика Ньютона, электродинамика Максвелла и даже СТО и ОТО. Усиление, которая аксиоматика получила впервые в "Основаниях геометрии" Гильберта (ни Евклид, ни Аполоний о такой суровой аксиоматике, которая изгоняет из теории какую бы то ни было наглядность, и не помышляли) заключается в том, что из всего материала реальных представлений, используемого в качестве базы данных для формирования базы знаний данной теории, принимается в расчет лишь то, что в виде некоего экстракта в аксиомах, записанных посредством конвенциональных (согласованных) символов. В геометрии Гильберта существуют только "точки", "прямые" и "плоскости" и некоторые договорные отншения между ними. Ни эллипсов, а, тем более, сложных овалов в формализме Гильберта не выразить, в нем существует только исчисление предикатов. А теперь заметьте, что кривизна первых двух линий - параболы и гиперболы - вырождаются в прямые, т. е. центр их кривизны уходят в бесконечность. Так почему, уважаемые коллеги, Вы полагаете, что этого же самого не произойдет с замкнутой кривой, если мы секущую расположим неподалеку от вершины, а далее пусть она устремляется куда подальше - условно в бесконечность. Именно такую перспективу и представлял себе Дюрер.

AKM в сообщении #567501 писал(а):
VPopov,а Вы уверены, что участники предыдущего обсуждения закончили его?
И что они захотят переключиться на Вашу задачу?
И что попеременное обсуждение двух задач в одной теме --- это прекрасное композиционное решение?


-- 05 май 2012, 11:15 --

Уважаемый Модератор, вот за это прошу извинения, впредь буду осмотрительнее.

 !  AKM:
Дикое цитирование исправлено.

Используйте кнопку Предпросмотр!

 
 
 
 Re: Отделено от темы Интересное замечание или даже открытие
Сообщение05.05.2012, 22:52 
VPopov, Вы пишете чушь, да ещё от имени модератора.

 
 
 
 Re: Отделено от темы Интересное замечание или даже открытие
Сообщение06.05.2012, 00:22 
Jnrty в сообщении #567789 писал(а):
VPopov, Вы пишете чушь, да ещё от имени модератора.


Я пишу от себя, а если что-то не так формально получилось, то, как говорится, звиняйте дядько. Насчет того же, чушь это или нет - надо посмотреть. Повторяю: я рассуждение веду в рамках содержательной аксиоматики, где базы данных (основные понятия) вводятся со ссылкой на имеющийся опыт. Тогда объясните школьнику, почему в сечении прямого конуса должен быть эллипс, если он, произведя эксперимент (допустим наискосок разрежет морковку), увидит на плоскости очертания яйцеобразной замкнутой линии.

 
 
 
 Re: Отделено от темы Интересное замечание или даже открытие
Сообщение06.05.2012, 11:31 
VPopov в сообщении #567807 писал(а):
(допустим наискосок разрежет морковку)

С вашей свободой и раскрепощенностью в рассуждениях, очень легко показать, что сечение произвольно выбранного чемодана - яйцеобразно. Прошу не обижаться, ничего личного :wink: . С уважением,

 
 
 
 Re: Отделено от темы Интересное замечание или даже открытие
Сообщение06.05.2012, 11:41 
Аватара пользователя
VPopov

Коническое сечение

Коническое сечение является кривой второго порядка. Все возможные кривые второго порядка классифицированы и описаны. Никаких "яйцеобразных кривых" там нет в принципе.

 
 
 
 Re: Отделено от темы Интересное замечание или даже открытие
Сообщение06.05.2012, 11:50 
Аватара пользователя
VPopov в сообщении #567807 писал(а):
Тогда объясните школьнику, почему в сечении прямого конуса должен быть эллипс, если он, произведя эксперимент (допустим наискосок разрежет морковку), увидит на плоскости очертания яйцеобразной замкнутой линии.

Я объясню, что его дядя обманул, выдав морковку за конус, и эксперимент ошибочный. Пусть сначала обточит морковку до конуса, с прямыми образующими, а потом режет. И в сечении эллипс получится, за милу душу.

 
 
 
 Re: Отделено от темы Интересное замечание или даже открытие
Сообщение06.05.2012, 13:03 
VPopov
Я извиняюсь, в какой части сечения конуса кривизна кривой больше, в верхней или в нижней?

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group