Дисперсия выборочного эксцесса.

[Александрович]

Формула зависит только от объёма выборки $n$.

$D_e=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

Как выводится, не подскажете?

[chessar]

Ну а что такое эксцесс - это количественная характеристика, выражающая меру остроты пика распределения случайной величины. От чего соответственно может тогда зависеть дисперсия такой величины - только от размера выборки!
Т.е. по сути вы вычисляете дисперсию с.в. $E$, принимающей значение коэффициента эксцесса для выборок всех размеров $n\in\mathbb{N}$

[Евгений Машеров]

Ну, прежде всего замечу, что это дисперсия оценки эксцесса в предположении, что распределение случайной величины нормальное. То есть эксцесс её заведомо равен нулю, поэтому и не входит в оценку ничего, кроме объёма выборки (чем он выше - тем ближе будет выборочный эксцесс к теоретическому значению).
Поскольку для нормального распределения известны все моменты, то вычисления дисперсии оценки эксцесса сводятся к довольно обширным, но простым по идее выкладкам. Их можно найти у Крамера, "Математические методы статистики", М., Мир, 1975 (есть и другие издания) в параграфе 29.3 (желательно ознакомление если не со всем предшествующим материалом, то с гл. 27 и 28). Там есть ссылки на первоисточники данного результата.

[Александрович]

Спасибо, уже понял. Значит для произвольного распределения например логистического дисперсия эксцесса находится по другой формуле, которую никто не выводил.

[Евгений Машеров]

Ну, у Кендалла и Стьюарта, "Теория распределений", М., Наука, 1966 в гл. 10 можно найти формулу для дисперсии 4-го семиинварианта (который и есть эксцесс), выражаемую через моменты распределения (2-й - 8й). Правда, она выводится не с теми поправками на смещённость, которые вводились при выводе формулы для эксцесса нормального распределения (и без которых формула для дисперсии эксцесса нормального выглядит малость проще: $\frac {24} n$, но для больших n эти поправки весьма малы, а при малых считать эксцесс, тем более его дисперсию дело несколько ненадёжное.
Так что, подставив моменты желаемого распределения, можно получить формулу для дисперсии, работающую при больших n.

-- 04 май 2012, 09:21 --

Для логистического можно вывести самому. Взяв у Кендалла формулу
$D\varkappa_4=\frac {\mu_8-12\mu_6\mu_2-8\mu_5\mu_3-\mu_4^2+48\mu_4\mu_2^2+64\mu_3^2\mu_2-36\mu_2^4} n$
(оговорка о том, что это без поправок на несмещённость, так что верна асимптотически, остаётся)
а моменты логистического распределения равны
$\mu_n=s^n\pi^n(2^n-2)|B_n|$
где $B_n$ числа Бернулли.

[Евгений Машеров]

Уточнение - эксцесс это нормированный семиинвариант.

[Александрович]

Допустим что удалось посчитать выборочный коэффициент эксцесса и его дисперсию. Тогда доверительный интервал для него можно найти только через неравенство Чебышева?

[Евгений Машеров]

Ну, теоретически эта оценка асимптотически нормальна. Но при каких N можно опираться на нормальность - не вем.

[Александрович]

Спасибо. Ещё вопрос, как в Экселе определяется выборочный коэффициент эксцесса? Там коэффициенты перед выборочным эксцессом (зависят от n), это для несмещённости оценки? Или это как-то связано с нормальностью?

[Евгений Машеров]

Для несмещённости, да. По тому же принципу, что и поправка для дисперсии $\frac n {n-1}$

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #568234 писал(а):

Для несмещённости, да.

И только для определения несмещённой оценки выборочного эксцесса для нормального распределения?

[Евгений Машеров]

Ну, так основное применение эксцесса - понять, нормальное ли распределение.

[Александрович]

В Экселе функция ЭКСЦЕСС считает несмещённую оценку коэффициента эксцесса только для нормального распределения?

[--mS--]

Не так. В Excel функция ЭКСЦЕСС считает оценку коэффициента эксцесса, которая для нормального распределения будет несмещённой. Она приведена в книге Г.Крамера в формуле (29.3.8) как $G_2$.

[Евгений Машеров]

Поправка на смещение зависит от высших моментов. Которые для нормального распределения выражаются известным образом через дисперсию. Для другого распределения необходимо знать эти моменты.
То есть, вообще говоря, поправки будут другими и зависеть от неизвестных (возможно, оцениваемых по выборке) величин. Более того, есть распределения, у которых нет конечных моментов соответсвующего порядка, соответственно, не могут быть и таких поправок.
Но поскольку почти что единственное приложение эксцесса - проверить "по-быстрому" гипотезу, что распределение нормально, то эксцесс и его дисперсия, рассчитанные в предположении нормальности, достаточны.