2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение01.05.2012, 21:40 


03/12/10
102
Как без знания $\exp$ считали логарифмы?
("Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом[31]:
Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.") Wiki
Как определили значение константы? И как сейчас это делают? ( через ряд?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение01.05.2012, 22:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Какой константы, $e$?

Между прочим, ранние логарифмы были не по основанию $e$. Непер использовал вот такую функцию: $x \mapsto \log_{1 - 0{,}1^7} \left( \frac x{10^7} \right)$, согласно http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение01.05.2012, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
У Непера была вроде бы механическая модель. Точка двигается по отрезку со скоростью, пропорциональной оставшемуся расстоянию. Это $10^7$ вылезало из произвольно выбранного соотношения начальной скоорости и длины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение01.05.2012, 23:15 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А я думал, ему так удобнее таблицы делать было…

-- Ср май 02, 2012 02:18:37 --

Помнится, кто-то построил свою таблицу натуральных логарифмов так: возвёл $1{,}0\ldots01$ в натуральные степени, а потом привёл показатели в соответствие с показателем результата, ближаёшего к $e$. А вот кто это был — уже не помню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение01.05.2012, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
arseniiv в сообщении #566409 писал(а):
А я думал, ему так удобнее таблицы делать было…
Ну видимо ему было удобнее считать в больших, но целых числах, чем в дробях. 17 век все-таки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение01.05.2012, 23:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Есть интересная книжка,
Ю. А. Белый. Иоганн КЕПЛЕР, 1571-1630 - Москва: Издательство «Наука», 1971.
Вот что там написано в 11 главе:
http://astro-cabinet.ru/library/Kepler/Kepler_12.htm

А число $e$ носит имя Эйлера, не зря, возможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение01.05.2012, 23:38 


20/12/09
1527
Логарифмы появились раньше экспоненты.
В 17 веке еще не было понятия произвольной степени числа.
Число $e$, кажется, появилось у Эйлера.

Это сейчас экспоненту ставят вперед логарифма.
Исторически правильнее делать наоборот.
Вводить логарифм (можно через площадь под гиперболой), а экспонента будет обратной функцией.

Логарифмы, синусы и экспоненты считаются через степенные ряды.
Поэтому возможно, что логарифмические таблицы появились только в 18 веке.
Если это было так, то история про Непера - выдумка,
а документы и исторические свидетельства фальшивые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение01.05.2012, 23:49 
Заслуженный участник


04/05/09
4584
Ales в сообщении #566424 писал(а):
Если это было так, то история про Непера - выдумка,
а документы и исторические свидетельства фальшивые.
Не так. Непер и Эйлер - один человек, просто при переписывании в фамилию вкралась ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение01.05.2012, 23:57 


20/12/09
1527
Сама идея, что какой-то шотландский барон 10 миллионов раз умножал на 1.0000001,
чтобы опубликовать никому не нужные в начале 17 века таблицы в высшей степени нелепа.

Кстати, сколько на это требуется времени, бумаги и чернил?

-- Ср май 02, 2012 00:01:25 --

10 млн минут делим на 60 на 24 на 365 = 19 лет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение02.05.2012, 00:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ales в сообщении #566437 писал(а):
никому не нужные в начале 17 века таблицы
Ну да, ну да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение02.05.2012, 07:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Скачал и глянул книжку (всего 32 страницы)
Гиршвальд Л.Я. История открытия логарифмов. 1952.
В общем, Кеплер упомянут вскользь, но остальное рассказано хорошо: и Бюрги, и Непер, и Бригг, и Сен-Винсен.

Первоначально логарифмы, может быть, казались мало нужными (например, Стевин подразумевал их применение только для экономических расчётов), но стоило им появиться, они быстро завоевали популярность - нашлись люди, остро в них нуждающиеся, и приложили немало усилий к их распространению и совершенствованию. Непер и сам был математиком и астрономом, и удобство расчётов для него не было пустым звуком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение02.05.2012, 08:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9634
Москва
Понятие логарифма возникало из сопоставления геометрической и арифметической прогрессий. Вторая представляла, с точностью до множителя и константы, логарифм первой. А такие задачи возникали, в частности, в экономике. А именно сложные проценты это геометрическая прогрессия, а равномерные выплаты - арифметическая, и как раз в это время появились сложные финансовые инструменты, страховые схемы, расчёты рентабельности долговременных предприятий и т.п.
Потребность в астрономических (астрологических, прямо скажем) вычислениях появилась ранее, а вот, с одной стороны, ослабление религиозных запретов на предсказания ("Ворожею не оставляй в живых!"), с другой стороны, войны, революции и прочие проявления непредсказуемости, повысили "плотность заказов" и потребовали считать быстро, так что созданы были таблицы логарифмов тригонометрических функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение03.05.2012, 23:42 


03/12/10
102
Всем большое спасибо. Сам не подумал книги поискать. Обязательно прочитаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение04.05.2012, 17:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9634
Москва
Неперовское основание логарифма было 2,7182816925449662711985502257778
что с практической точки зрения равно e. Ошибка в восьмом знаке не важна ни для астрономов, ни для финансистов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определяли логарифм и вычислили экспоненту
Сообщение04.05.2012, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Зачем им было тогда столько знаков? Это же превышение точности жуткое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 115 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group