Перенос методов ТКП на двумерное пространство-время.

[g______d]

Time в сообщении #564001 писал(а):

Как от этого вида формулы Коши, переходом в новый базис, получить варианты (28-29)?

Никак. Такая формула имеет место только для контуров типа (1,1). Формулы (28) и (29) справедливы для контуров типа (1,0) или (0,1).

[Time]

g______d в сообщении #564005 писал(а):

Никак. Такая формула имеет место только для контуров типа (1,1). Формулы (28) и (29) справедливы для контуров типа (1,0) или (0,1).

Я Вам об этом и говорил. Вы неправомерно поставили в формулу, которая у меня для изотропного базиса записана правильно и именно в Вашей логике проекций, мнимую единицу $i$ из неизотропного базиса. Думаю, Вся Ваша легкость и тривиальность получения формул (28) и (29) была прямым следствием этой ошибки.

[g______d]

Я, возможно, где-то неточно выразился. Я хочу сказать, что Ваши формулы (26)--(29) каждая справедлива для своего типа контура. Моя формула описывает все возможные контуры. Если подставить конкретные числа обходов и согласовать обозначения, то получатся Ваши формулы.

-- 26.04.2012, 00:21 --

Time в сообщении #564007 писал(а):

Я Вам об этом и говорил. Вы неправомерно поставили в формулу, которая у меня для изотропного базиса записана правильно и именно в Вашей логике проекций, мнимую единицу $i$ из неизотропного базиса. Думаю, Вся Ваша легкость и тривиальность получения формул (28) и (29) была прямым следствием этой ошибки.

Когда я пишу $i$ внутри скобок, я всегда имею в виду стандартную комплексную единицу в одной компоненте. Могу переписать в более понятных обозначениях.

-- 26.04.2012, 00:26 --

$$ \int\limits_C \frac{f(z)}{z_0-z}\cdot dz=\left(\int\limits_{C_1}\frac{f_1(z_1)}{z_{01}-z_1}dz_1,\int\limits_{C_2}\frac{f_2(z_2)}{z_{02}-z_2}dz_2\right)=(2\pi i n_1 f_1(z_{01}),2\pi i n_2 f_2(z_{02}))= $$ $$ =2\pi (i,i) \cdot (n_1,n_2)\cdot f(z_0), $$

Так лучше? Теперь $i$ обозначает только комплексную мнимую единицу, а Ваше $i$ --- это $(i,i)$

[Time]

g______d в сообщении #564008 писал(а):

Я, возможно, где-то неточно выразился. Я хочу сказать, что Ваши формулы (26)--(29) каждая справедлива для своего типа контура. Моя формула описывает все возможные контуры. Если подставить конкретные числа обходов и согласовать обозначения, то получатся Ваши формулы.

Выше Вы говорили, что меняя базис, можно при фиксированном четырехмерном замкнутом контуре переходить от формул типа (26-27) к (28-29). Теперь выходит, что для получения формул типа (28-29) нужен не просто переход к новому базису, а принципиально изменить ТИП контура. В моем понимании так оно и есть. И для этого действительно нужно от обычного замкнутого контура перейти к контуру с элементами гиперболичности. То, что Вы добиваетесь этого некими манипуляциями со значениями $n_1$ и $n_2$ говорит лишь о том, что Вы неявно в финслеровом четырехмерии кардинальным образом сменили режим обхода этого пространства, сделав из контура евклидова типа псевдоевклидов тип. Ну, или наоборот.
Если бы Вы не пользовались изотропным базисом и честно строили хоть двумерные хоть четырехмерные контуры, Вам было бы лучше понятно, какой геометрический аспект заставляет форулу Коши в бикомплексном пространстве менять вид с (26-27) на (28-29). Думаю, это как раз и связано с разным видом формулы Коши на комплексной и на двойной плоскостях (в последнем случае с применением комплексного ее расширения).

Цитата:

Когда я пишу $i$ внутри скобок, я всегда имею в виду стандартную комплексную единицу в одной компоненте. Могу переписать в более понятных обозначениях.

Вы не имели права, работая с четырьмя векторами изотропного базиса приплетать по сути пятый вектор из совершенно другого, уже неизотропного базиса. Проделайте все построения в изотропном базисе и все должно встать на свои места. Или лучше вообще забыть про изотропный базис и все проделывать в "ортонормированном". В последнем "нормальная" мнимая единица $i$ вполне законна и составляет часть этого базиса.

[g______d]

Time в сообщении #564018 писал(а):

Вы не имели права, работая с четырьмя векторами изотропного базиса приплетать по сути пятый вектор из совершенно другого, уже неизотропного базиса. Проделайте все построения в изотропном базисе и все должно встать на свои места. Или лучше вообще забыть про изотропный базис и все проделывать в "ортонормированном". В последнем "нормальная" мнимая единица $i$ вполне законна и составляет часть этого базиса.

Я всегда в вычислениях стараюсь пользоваться обозначением $(z_1,z_2)$, где $z_1$, $z_2$ --- комплексные числа. Например, $(i,i)$. $i$ --- это не базисный элемент, а координата элемента двумерного векторного пространства над $\mathbb C$. Я на этом не настаиваю, просто поясняю свои обозначения, которые являются в некотором смысле стандартными (и от которых я зря один или два раза отошел).

-- 26.04.2012, 01:03 --

Time в сообщении #564018 писал(а):

Выше Вы говорили, что меняя базис, можно при фиксированном четырехмерном замкнутом контуре переходить от формул типа (26-27) к (28-29). Теперь выходит, что для получения формул типа (28-29) нужен не просто переход к новому базису, а принципиально изменить ТИП контура. В моем понимании так оно и есть.

Если я так говорил, то я Вас обманывал.

Time в сообщении #564018 писал(а):

И для этого действительно нужно от обычного замкнутого контура перейти к контуру с элементами гиперболичности.

Чем они необычные? Это обычные замкнутые несамопересекающиеся контуры в $\mathbb C^2$. Я же не виноват, что не все они друг другу гомотопны, а теорему надо доказывать для всех.

Time в сообщении #564018 писал(а):

То, что Вы добиваетесь этого некими манипуляциями со значениями $n_1$ и $n_2$ говорит лишь о том, что Вы неявно в финслеровом четырехмерии кардинальным образом сменили режим обхода этого пространства, сделав из контура евклидова типа псевдоевклидов тип. Ну, или наоборот.

Еще раз. Есть задача доказать некоторые факт про замкнутые контуры в $\mathbb C^2$. Мы знаем, что для гомотопных контуров ответы одинаковые. Очевидно, что ответ скорее всего зависит от гомотопического класса контура. Поэтому естественным вопросом является классифицировать все контуры. Это легко.

У Вас вот вообще в статье теорема заявляется для произвольного контура, а доказывается только для типов (1,1), (1,-1), (1,0) и (0,1). А на самом деле еще есть много неэквивалентных им контуров, и для них будет другой вид формулы Коши.

[Time]

Цитата:

Так лучше?

Нет. Вернитесь к сделанному мною исправлению с привлечением изотропных единиц $e_2$ и $e_4$ и покажите, как оперируя только двумя изотропными евклидовыми плоскостями и двумерными проекциями контуров на них получить формулы вида (28-29).
Подозреваю, что Ваши манипуляции с $n_1$ и $n_2$ как раз и есть то же смое, что замена вещественной координаты в двойных числах на мнимую, только в данном случае наоборот. Об этом я и говорил Выше, но Вы стали настаивать, что только с базисами поигрались. Выходит, что вариация $n_1$ и $n_2$ это не переход от одного базиса к другому, а именно смена типа контура. От того, что данный прием был закумуфлирован, по сути он никуда не делся. Уж лучше все проделывать честно и с четырехмерными контурами как у нас с Гарасько. Тогда по крайней мере легко понять, что именно случается с контуром, когда формула Коши из типа (26-27) превращается в тип (28-29).

[g______d]

Вы читаете вообще? Разумеется, выбор $n_1$ и $n_2$ --- это смена типа контура. Я уже признал, что я Вас обманул, когда сказал, что эти формулы получаются переходом от одного базиса к другому.

-- 26.04.2012, 01:24 --

А против обозначения $z=(z_1,z_2)\in \mathbb C\oplus \mathbb C$ Вы ничего не имели. И я все корректно записал в этих обозначениях.

-- 26.04.2012, 01:31 --

В общем, мне постепенно надоедает спорить. Результаты Вашей статьи следуют из очень простой формулы

$$ \int\limits_C \frac{f(z)}{z_0-z}\cdot dz=\left(\int\limits_{C_1}\frac{f_1(z_1)}{z_{01}-z_1}dz_1,\int\limits_{C_2}\frac{f_2(z_2)}{z_{02}-z_2}dz_2\right)=(2\pi i n_1 f_1(z_{01}),2\pi i n_2 f_2(z_{02}))= $$ $$ =2\pi (i,i) \cdot (n_1,n_2)\cdot f(z_0), $$

справедливой для любого замкнутого контура в $\mathbb C^2$, не пересекающего плоскости делителей нуля. Числа $n_1$ и $n_2$ зависят от контура.

-- 26.04.2012, 01:34 --

Time в сообщении #564025 писал(а):

Цитата:

Тогда по крайней мере легко понять, что именно случается с контуром, когда формула Коши из типа (26-27) превращается в тип (28-29).

Ага, и легко упустить, какие еще бывают контуры кроме упомянутых 4 типов.

[Time]

Давайте попробуем подвести некий итог спора. Пусть промежуточный.
Мы с Гарасько использовали принципиально иную методологию подхода к исследованию свойств пространств бикомплексных чисел. Эта логика базируется на понимание того, что перед нами линейное финслерово пространство с метрикой с четвертыми степенями компонент. Вы исходите из совсем иной идеологии. Она Вам кажется простой и понятной. Мне очевидно, что у Вашего подхода могут быть скрытые недостатки. Тот факт, что Вы так и не откликнулись на мою просьбу рассказать про дополнительные инварианты и связанные с ними преобразования, говорит за то, что наш подход имеет серьезные основания для самостоятельного развития и использования. В Вашей логике потребности в таких объектах, похоже, просто не возникает, а то и принципиально не может возникнуть. Я допускаю, что в некоторых аспектах, особенно где дело касается стандартных представлений Ваш подход может выглядеть предпочтительней. Но дело в том, что мы с Гарсько, Кокаревым и другими физиками и математиками взялись именно за финслеров подход и в связи с гиперкомплексными алгебрами. Он нам понятней и мы видим его определенные преимущества. Причем не только мы, практически все специалисты по финслеровым пространствам разделяют наш оптимизм, по крайней мере на концептуальном уровне. Если мы не правы нас накажет жизнь и это существенно более печально, чем Ваши обвинения в жульничестве и математической нестрогости.
Я высказал свою гипотезу, на счет возможности связать результат изложенный в статье с Гарасько для доказательства, что формулы вида (28-29) появились в нашем подходе не случайно и напрямую связаны с аналогом формулы Коши на плоскости двойной переменной (с применением ее комплексификации). Вы не поняли или не захотели понять, как это можно доказать. Зато понял Гарасько. Надеюсь, он найдет время повозиться именно в этом направлении. А там видно будет..
Предлагаю с формулой Коши временно завязать. Если хотите и можете я бы с удовольствием послушал Ваши соображения на счет дополнительных инвариантов в некоторых финслеровых пространствах и связанных с ними дополнительных симметриях. Хотя бы самые общие..

[g______d]

Вернулся в старую тему.

[Time]

Поскольку Ваше последнее сообщение:

Цитата:

Если не с моей стороны --- то на нобелевскую премию. Решения нобелевского комитета я признаю :)

Извиняться не обязательно. Если действительно хотите сделать что-то хорошее, то выучите разделы математики и физики, про которые Вы раньше высказывались --- про уравнения в частных производных (функции Грина), квантовую механику, конформную теорию поля. Разберитесь с группами симметрий в физике (чтобы правильно понимать контекст цитированных Вами высказываний Вейля и др.). Теорию струн, так уж и быть, простим, хотя про нее я от Вас тоже что-то слышал :)

спровоцировало закрытие "старой темы" - отвечу здесь.

Похоже, Вы действительно математик, раз совершенно не имеете представления об эффективной организации труда. Узким специалистам это простительно, правда, придется всю жизнь довольствоваться этой самой узостью. Спасибо за местами интересный диалог. Решите материализоваться - милости присим в гости. Только не забудьте при встрече напомнить, что Вы тот самый... А то как-то неудобно получится...

[g______d]

Time в сообщении #564351 писал(а):

Похоже, Вы действительно математик, раз совершенно не имеете представления об эффективной организации труда. Узким специалистам это простительно, правда, придется всю жизнь довольствоваться этой самой узостью. Спасибо за местами интересный диалог.

Если это был комплимент, то и я отвечу комплиментом. Диалог для меня местами тоже был интересным, поскольку Вы, в отличие от многих других "нетрадиционных ученых", вели его достаточно корректно.

[bayak]

g______d, мой вопрос остался открытым. Напомню, что вопрос касался группы Ли линейных преобразований пространства $\mathbb{R}^{4}$, сохраняющих точку отсчёта и симметрическую форму (Чернова) третьей степени: $x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}$. Ваше предположение об отсутствии в этом случае непрерывной группы преобразований неверно, поскольку орбита группы, задаваемая уравнением $x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=1$, не дискретна а непрерывна. Разве для математики не представляет интереса этот простой вопрос по финслеровой геометрии? Ведь пока мы не знаем группы, мы не знаем и самого пространства.

[g______d]

Расшифруйте. Что такое орбита группы? Что значит симметрическая форма Чернова? Тензор $dx_1\otimes dx_2\otimes dx_3+dx_1\otimes dx_3\otimes dx_4+dx_1\otimes dx_2\otimes dx_4+dx_2\otimes dx_3\otimes dx_4$ не является симметрическим.

[bayak]

Имеется в виду орбита действия группы, а из того, что Ваш тензор не является симметрическим ещё не следует, что записанный мной многочлен не является симметричным.

[g______d]

Дайте точное определение "линейного преобразования $\mathbb R^4$, сохраняющего форму Чернова".