Неподвижная точка

[xmaister]

Всякое ли непрерывное отображение компактного множества в топологическом пространстве в себя имеет неподвижную точку?

[Padawan]

Конечно нет! Возьмите отображение сферы в себя, которое каждую точку переводит в диаметрально противоположную.

[xmaister]

Тогда для каких множеств всякое непрерывное отображение имеет неподвижные точки?

[Padawan]

xmaister
Например, для замкнутых шаров в евклидовом пространстве (теорема Брауэра), для компактных выпуклых множеств в локально выпуклых топологических векторных пространствах (теорема Шаудера-Тихонова). Наверняка есть еще много других теорем.

Ну и понятно, что если пространство $X$ обладает свойством неподвижной точки, то гомеоморфное ему пространство тоже этим свойством обладает.

Если $X$ обладает с.н.т. и $A\subset X$ -- ретракт $X$, то $A$ тоже обладает с.н.т.

[alcoholist]

xmaister в сообщении #560788 писал(а):

Тогда для каких множеств всякое непрерывное отображение имеет неподвижные точки?

Число Лефшеца

[xmaister]

alcoholist
А на русском что-нибудь есть про это всё хозяйство? И что такое "triangulable space" если на пальцах. По ссылке в вики как-то не очень...

[alcoholist]

xmaister в сообщении #561474 писал(а):

И что такое "triangulable space" если на пальцах

это пространства, гомотопически эквивалентные симплициальным комплексам

Посмотрите Дольда -- Лекции по алгебраической топологии, Теорема Лефшеца-Хопфа

[Oleg Zubelevich]

alcoholist в сообщении #560920 писал(а):

Число Лефшеца

два вопроса 1) годится ли эта наука для бесконечномерных пространств, и если да, то какая теорема о неподвижной точке оттуда выводится, окромя, разумеется, теоремы Шаудера-Тихонова? ( я имею ввиду теоремы с проверяемыми условиями)

[alcoholist]

Oleg Zubelevich в сообщении #561584 писал(а):

годится ли эта наука для бесконечномерных пространств

я не эксперт в бесконечномерии, но мне кажется, что если гомологии конечнопорождены и исчезают, начиная с некоторой размерности, то годится