2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Оператор Штурма-Лиувилля
Сообщение17.04.2012, 11:00 
Здравствуйте! :-) Помогите пожалуйста разобраться.
Рассмотрим на открытом интервале вещественной оси $I$ дифференциальное выражение
$P[y]=-y''+q(x)y$
- где функция $q(х)$ ограничена снизу положительным числом.Пусть $P$ — минимальный оператор, порожденный в $L_2 (I)$ дифференциальным выражением $P[.]$.Сопряженный оператор к $P$ обозначим через $P^*$ . Обозначим через $D_{P^* }$ области определения оператора $P^*$.
ЛЕММА . Область определения $D_{P^* }$ оператора $P^*$ состоит из функций $f\in L_2 (I)$, для которых $f^'$ абсолютно непрерывна на каждом компактном подмножестве интервала $I$, и функция
$-f'' (x)+q(x)f(x)$

принадлежит $L_2 (I)$.
Вот собственно лемма, которая меня интересует. Преподаватель переформулировал её следующим образом:
Через $V_*$ обозначим множество всех функций $f\in L_2 (I)$, для которых $f^'$ абсолютно непрерывна на каждом компактном подмножестве интервала $I$, и функция
$-f'' (x)+q(x)f(x)$

принадлежит $L_2 (I)$.
ЛЕММА. Область определения $D_{P^* }$ оператора $P^*$ совпадает с множеством $V_*$.
Пусть $f\in V_*$, доказать, что в таком случае $f\in D_{P^* }$ .
Подскажите, пожалуйста, с чего начать.

 
 
 
 Re: Оператор Штурма-Лиувилля
Сообщение17.04.2012, 11:12 
PaRaNo1K в сообщении #560959 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, с чего начать.

С устранения всех блох в формулировке. Например:

PaRaNo1K в сообщении #560959 писал(а):
Пусть $P$ — минимальный оператор, порожденный в $L_2 (I)$ дифференциальным выражениям $P[∙]$.

Я вот совершенно не знаю, что такое минимальный оператор (в каком смысле минимальный). А угадывать по контексту нет никакого желания. И вот это:

PaRaNo1K в сообщении #560959 писал(а):
множество всех функций $f∈L_2 (I)$, для которых $f$ абсолютно непрерывна на каждом компактном подмножестве интервала $I$

-- формально попросту неверно (просто абсолютной непрерывности недостаточно). Да и про функцию $q(x)$ неплохо бы сказать хоть что-то, кроме её ограниченности снизу.

 
 
 
 Re: Оператор Штурма-Лиувилля
Сообщение17.04.2012, 15:45 
$q (х)$ — положительная функция, заданная на интер­вале $I$ вещественной оси. Это все, что сказано.

 
 
 
 Re: Оператор Штурма-Лиувилля
Сообщение17.04.2012, 16:53 
Аватара пользователя
PaRaNo1K,

бардак в Вашем первом посте происходит от:
  • Непарных (лишних) долларов вроде "...дифференциальным выражением $P[∙]$. $ Сопряженный оператор..."
  • Использования странных символов типа ∈ (команда \in: $f\in L$).
  • Использования русских букв в формулах (русское эР вместо латинского P).
Используйте кнопку Изображение для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин.
В теме Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться также описано, как исправлять ситуацию.
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group