Интегрируемость по риману последовательности функций

[zrz]

Добрый день,
я пытаюсь придумать пример последовательности функций интегрируемых по Риману на отрезке (например [0;1]) предел которых не является интегрируемой по Риману функцией.
Основываясь на функции Римана придумал вот такую функцию.

$$$ f(x)=\begin{cases} ({\frac 1 q})^{\frac 1 n},&\text{если $x$ рациональное вида $\frac p q$;}\\ 0,&\text{если $x$ иррациональное;}\\ \end{cases} $$$

По идее она итнегрируема для любого натурального n (правда как это доказать я еще не придумал), а в пределе получается функция Дирихле.
Прав ли я?

[Toucan]

Переехали в учебный раздел.

[ewert]

zrz в сообщении #558930 писал(а):

Прав ли я?

Прав, но можно и проще. Пусть функция сначала от нуля линейно возрастает, а потом к единице убывает по гиперболе (после точки пересечения прямой и гиперболы). Теперь начните увеличивать наклон линейного участка к бесконечности.

[Sender]

ewert в сообщении #558933 писал(а):

Теперь начните увеличивать наклон линейного участка к бесконечности.

Или даже $f_n(x)=\frac{1}{x+\frac{1}{n}}$

[zrz]

Извините, забыл уточнить, хочу получить в пределе функцию интегрируемую по Лебегу.

[RIP]

Ну, можно $x$ поменять на $\sqrt x$. Если же хочется ограниченную, то пример правильный.

[zrz]

RIP в сообщении #558998 писал(а):

Ну, можно $x$ поменять на $\sqrt x$. Если же хочется ограниченную, то пример правильный.

А где поменять? Если имелось ввиду $f(x)=\frac 1 {\sqrt x + \frac 1 n}$, то она же и по Лебегу неинтегрируема на [0;1], в том смысле что конечный предел не существует.

[RIP]

Согласен, в нуле надо функции переопределить. Например, на 0.

[zrz]

Ну и все равно расходится. Тогда уж $\frac 1 {x^2+\frac 1 n}$ надо брать. Для меня конечно интеграл Лебега еще не достаточно хорошо изученная математическая конструкция, но думаю в данном случае все также как с интегралом 1ого рода в смысле Римана. Разве нет?

[ИСН]

zrz в сообщении #559189 писал(а):

Ну и все равно расходится. Тогда уж $\frac 1 {x^2+\frac 1 n}$ надо брать.

Наоборот.

[zrz]

ИСН в сообщении #559192 писал(а):

zrz в сообщении #559189 писал(а):

Ну и все равно расходится. Тогда уж $\frac 1 {x^2+\frac 1 n}$ надо брать.

Наоборот.

Простите я действительно глупость какую-то сказал. $\frac 1 {x^2+\frac 1 n}$ расходится, $\frac 1 {\sqrt x+\frac 1 n}$ сходится.

Но возвращаясь к изначальному вопросу, получается что все сходящиеся несобственные интегралы второго рода подходят, просто из-за того, что в определение интеграла Римана предельный переход для неограниченных функций не заложен, а в определение интеграла Лебега определенным образом заложен.

А вот построить ограниченную функцию не интегрируемую по Риману, являющуюся пределом интегрируемых, можно только достаточно хитрым способом.