задачки по операторам

[vlad_light]

$a:\mathbb R\to\mathbb C$ - борелевская, $A:D(A)\to L^2(\mathbb R), (Ax)(t)=a(t)x(t), D(A)=\{x\in L^2(\mathbb R)|ax\in L^2(\mathbb R)\}$.
Показать, что $A$ - замкнут, плотно задан. Найти $A^*$.
Замкнутость: берём посл. $\{x_n\}\in D(A)$ такую, что $x_n\to x\in L^2(\mathbb R)$ и $Ax_n\to y\in L^2(\mathbb R)$.
Тогда $Ax_n=ax_n\to ax=y=Ax$ и $ax\in L^2(\mathbb R)$ по определению.
Плотность: $\forall x\in L^2(\mathbb R)\exists \{x_n\}\in D(A):x_n\to x$. Как это доказать?
Сопряженный: $(Ax,y)=\int ax\overline ydm=\int x\overline{\overline ay}dm=(x,A^*y)$.
Спасибо!

[Oleg Zubelevich]

я бы описал $D(A)$ так
$\chi_n(x)$ -- характеристическая функция множества $\{x\in\mathbb{R}\mid |a(x)|\le n\},\quad n\in\mathbb{N}.$ Введем оператор $A_n:L^2(\mathbb{R})\to L^2(\mathbb{R})$ по формуле $A_nu=\chi_nu$. Тогда $D(A)=\bigcup_nA_n(L^2(\mathbb{R}))$

-- Вт апр 10, 2012 19:01:17 --

vlad_light в сообщении #558725 писал(а):

Тогда $Ax_n=ax_n\to ax=y=Ax$ и $ax\in L^2(\mathbb R)$ по определению.

не по определению

[vlad_light]

Пасиб, понятно=) Позже ещё пару задачек скину.

Цитата:

не по определению

Я имел ввиду, что $ax\in D(A)\subset L^2(\mathbb R)$ и $ax\in D(A)$ по определению $D(A)$.