Дана плотность распределения вероятностей системы

[zaets75]

Всем доброго дня!
Бьюсь над задачкой, два раза уже сдавал и оба раза преподаватель написал в рецензии, что функция распределения посчитана неправильно, потому что неправильно обозначены пределы интегрирования.
Собственно задача:

Дана плотность распределения вероятностей системы (X,Y)
p(x,y)={C в треугольнике О(0,0), А(-3,0), В(0,2), 0 в остальных точках}
Найти F(-1, 1)

Построил треугольник, из точки (-1,1) провёл два луча- влево и вниз, в итоге получил трапецию.
Дальше у меня получается следующее:

$$F(-1, 1)=1/3\int\limits_{-3}^{-1} dx\int\limits_{0}^{2/3x+2} dy$$

В результате получил 4/9.

Подскажите где ошибка, все учебники проштудировал, но сам сообразить не могу.

[Dave]

А не проще ли площадь трапеции посчитать геометрическими методами, а не через интегралы? Если через интегралы, то конечно пределы расставлены неправильно. Во-первых, внешний интеграл не до $1$, а до $-1$, а во-вторых, верхний предел внутреннего - не всегда $2/3 x+2$.

[zaets75]

Преподаватель требует расчёт именно через интегралы, по поводу внешнего интеграла- опечатался, извиняюсь, там -1 (поправил), какой же тогда верхний предел внутреннего интеграла?

[Dave]

Подсказка: верхнее основание трапеции (начиная с определённого $x$).

[zaets75]

Что-то я совсем запутался
Пределы от -1.5 до -1?

[Dave]

Есть трапеция. Её площадь (как требует Ваш преподаватель) нужно посчитать через интегралы. В пределах интегрирования нужно учесть все стороны трапеции. Нижнее основание $y=0$ задаётся нижним пределом внутреннего интеграла. Правая боковая сторона - $x=-1$ - верхним пределом внешнего интеграла. Левая боковая сторона и верхнее основание должны определять верхний предел внутреннего интеграла. Проще будет тогда весь интеграл разбить на два, чтобы не запутаться - по $x$ до точки пересечения указанных сторон и после неё.

zaets75 в сообщении #558724 писал(а):

Что-то я совсем запутался
Пределы от -1.5 до -1?

Правильно, только это будут пределы $x$ одного из интегралов. Пределы $y$ выставите самостоятельно.

[zaets75]

Кажется до меня дошло

$$F(-1, 1)=1/3\int\limits_{3/2y-3}^{-1} dx\int\limits_{0}^{1} dy$$

Проверьте меня пожалуйста

[Dave]

Совсем не то. Предел внешнего интеграла вообще не может зависеть от переменной (тем более переменной внутреннего интеграла). Как Вы себе представляете такое интегрирование?

[zaets75]

Ну да,согласен но ведь я могу записать в таком виде:

$$F(-1, 1)=1/3\int\limits_{0}^{1} dy\int\limits_{3/2y-3}^{-1} dx$$

или нет?

[Dave]

Можно и так. Теперь гораздо логичнее

[zaets75]

Вы серьёзно, это действительно правильно?
Получается пределы интегрирования- это стороны нашей трапеции?

[Dave]

Выходит так. Не совсем то, что я имел ввиду изначально, но тоже правильно.